Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50404 / 49317
↖ ↑ ↗
← S 66.871873°
E 96.877441°		 ← 239.94 m → S 66.871873°
E 96.882935°		 →
↑
239.93 m
↓
↑
239.93 m
↓
S 66.874031°
E 96.877441°		 ← 239.91 m →
57 566 m²		 S 66.874031°
E 96.882935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769111633300781 y=0.752525329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769111633300781 × 216)
    floor (0.769111633300781 × 65536)
    floor (50404.5)     		tx = 50404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752525329589844 × 216)
    floor (0.752525329589844 × 65536)
    floor (49317.5)     		ty = 49317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50404 / 49317 ti = "16/50404/49317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50404/49317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50404 ÷ 216
    50404 ÷ 65536     		x = 0.76910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49317 ÷ 216
    49317 ÷ 65536     		y = 0.752517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76910400390625 × 2 - 1) × π
    0.5382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69083032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.505035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58661550362462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69083032} λ = 1.69083032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58661550362462))-π/2
    2×atan(0.2046169665119)-π/2
    2×0.201830983498793-π/2
    0.403661966997585-1.57079632675     		φ = -1.16713436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69083032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.877441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16713436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.871873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50404 KachelY 49317 1.69083032 -1.16713436 96.877441 -66.871873
    Oben rechts KachelX + 1 50405 KachelY 49317 1.69092620 -1.16713436 96.882935 -66.871873
    Unten links KachelX 50404 KachelY + 1 49318 1.69083032 -1.16717202 96.877441 -66.874031
    Unten rechts KachelX + 1 50405 KachelY + 1 49318 1.69092620 -1.16717202 96.882935 -66.874031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16713436--1.16717202) × R
    3.76600000000504e-05 × 6371000     		dl = 239.931860000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16713436--1.16717202) × R
    3.76600000000504e-05 × 6371000     		dr = 239.931860000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69083032-1.69092620) × cos(-1.16713436) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.392788618499124 × 6371000     		do = 239.935508937188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69083032-1.69092620) × cos(-1.16717202) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.392753985000569 × 6371000     		du = 239.914353013338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16713436)-sin(-1.16717202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392788618499124-0.392753985000569)×R²
    abs(1.69092620-1.69083032)×3.46334985552588e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46334985552588e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46334985552588e-05×40589641000000     		ar = 57565.6349560036m²