Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50402 / 50050
↖ ↑ ↗
← S 68.403224°
E 96.866455°		 ← 224.81 m → S 68.403224°
E 96.871948°		 →
↑
224.83 m
↓
↑
224.83 m
↓
S 68.405246°
E 96.866455°		 ← 224.79 m →
50 543 m²		 S 68.405246°
E 96.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769081115722656 y=0.763710021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769081115722656 × 216)
    floor (0.769081115722656 × 65536)
    floor (50402.5)     		tx = 50402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763710021972656 × 216)
    floor (0.763710021972656 × 65536)
    floor (50050.5)     		ty = 50050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50402 / 50050 ti = "16/50402/50050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50402/50050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50402 ÷ 216
    50402 ÷ 65536     		x = 0.769073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50050 ÷ 216
    50050 ÷ 65536     		y = 0.763702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769073486328125 × 2 - 1) × π
    0.53814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69063858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.52740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65689099846762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69063858} λ = 1.69063858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65689099846762))-π/2
    2×atan(0.190731042366365)-π/2
    2×0.188467423065826-π/2
    0.376934846131653-1.57079632675     		φ = -1.19386148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69063858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19386148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.403224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50402 KachelY 50050 1.69063858 -1.19386148 96.866455 -68.403224
    Oben rechts KachelX + 1 50403 KachelY 50050 1.69073445 -1.19386148 96.871948 -68.403224
    Unten links KachelX 50402 KachelY + 1 50051 1.69063858 -1.19389677 96.866455 -68.405246
    Unten rechts KachelX + 1 50403 KachelY + 1 50051 1.69073445 -1.19389677 96.871948 -68.405246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19386148--1.19389677) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dl = 224.832590000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19386148--1.19389677) × R
    3.52900000000211e-05 × 6371000     		dr = 224.832590000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69063858-1.69073445) × cos(-1.19386148) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.368072232058011 × 6371000     		do = 224.814017818151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69063858-1.69073445) × cos(-1.19389677) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.368039419285655 × 6371000     		du = 224.793976178096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19386148)-sin(-1.19389677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368072232058011-0.368039419285655)×R²
    abs(1.69073445-1.69063858)×3.28127723552285e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.28127723552285e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.28127723552285e-05×40589641000000     		ar = 50543.2648924838m²