Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50400 / 48864
↖ ↑ ↗
← S 65.874725°
E 96.855469°		 ← 249.65 m → S 65.874725°
E 96.860962°		 →
↑
249.62 m
↓
↑
249.62 m
↓
S 65.876970°
E 96.855469°		 ← 249.63 m →
62 314 m²		 S 65.876970°
E 96.860962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769050598144531 y=0.745613098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769050598144531 × 216)
    floor (0.769050598144531 × 65536)
    floor (50400.5)     		tx = 50400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745613098144531 × 216)
    floor (0.745613098144531 × 65536)
    floor (48864.5)     		ty = 48864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50400 / 48864 ti = "16/50400/48864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50400/48864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50400 ÷ 216
    50400 ÷ 65536     		x = 0.76904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48864 ÷ 216
    48864 ÷ 65536     		y = 0.74560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69044683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69044683} λ = 1.69044683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54318467256885))-π/2
    2×atan(0.213699453802344)-π/2
    2×0.210532743729745-π/2
    0.42106548745949-1.57079632675     		φ = -1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69044683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50400 KachelY 48864 1.69044683 -1.14973084 96.855469 -65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 50401 KachelY 48864 1.69054270 -1.14973084 96.860962 -65.874725
    Unten links KachelX 50400 KachelY + 1 48865 1.69044683 -1.14977002 96.855469 -65.876970
    Unten rechts KachelX + 1 50401 KachelY + 1 48865 1.69054270 -1.14977002 96.860962 -65.876970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14973084--1.14977002) × R
    3.91800000001385e-05 × 6371000     		dl = 249.615780000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14973084--1.14977002) × R
    3.91800000001385e-05 × 6371000     		dr = 249.615780000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69044683-1.69054270) × cos(-1.14973084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 249.64918211077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69044683-1.69054270) × cos(-1.14977002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408697347530674 × 6371000     		du = 249.62734150317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14973084)-sin(-1.14977002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.408697347530674)×R²
    abs(1.69054270-1.69044683)×3.57580958110226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57580958110226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57580958110226e-05×40589641000000     		ar = 62313.6494467755m²