Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 504 / 743
↖ ↑ ↗
← S 62.754726°
W  2.812500°		 ← 17.896 km → S 62.754726°
W  2.460937°		 →
↑
17.848 km
↓
↑
17.848 km
↓
S 62.915233°
W  2.812500°		 ← 17.799 km →
318.537 km²		 S 62.915233°
W  2.460937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49267578125 y=0.72607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49267578125 × 210)
    floor (0.49267578125 × 1024)
    floor (504.5)     		tx = 504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72607421875 × 210)
    floor (0.72607421875 × 1024)
    floor (743.5)     		ty = 743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 504 / 743 ti = "10/504/743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/504/743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 504 ÷ 210
    504 ÷ 1024     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 743 ÷ 210
    743 ÷ 1024     		y = 0.7255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7255859375 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41739824796582))-π/2
    2×atan(0.242343715636968)-π/2
    2×0.237759869098299-π/2
    0.475519738196597-1.57079632675     		φ = -1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 504 KachelY 743 -0.04908739 -1.09527659 -2.812500 -62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 505 KachelY 743 -0.04295146 -1.09527659 -2.460937 -62.754726
    Unten links KachelX 504 KachelY + 1 744 -0.04908739 -1.09807797 -2.812500 -62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 505 KachelY + 1 744 -0.04295146 -1.09807797 -2.460937 -62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09527659--1.09807797) × R
    0.00280137999999996 × 6371000     		dl = 17847.5919799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09527659--1.09807797) × R
    0.00280137999999996 × 6371000     		dr = 17847.5919799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(-1.09527659) × R
    0.00613593 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 17896.3450033851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04295146) × cos(-1.09807797) × R
    0.00613593 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 17798.9131048764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09527659)-sin(-1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.455308209816203)×R²
    abs(-0.04295146--0.04908739)×0.00249237372122657×R²
    0.00613593×0.00249237372122657×6371000²
    0.00613593×0.00249237372122657×40589641000000     		ar = 318537409.484828m²