Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50394 / 49681
↖ ↑ ↗
← S 67.644766°
E 96.822510°		 ← 232.31 m → S 67.644766°
E 96.828003°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
S 67.646855°
E 96.822510°		 ← 232.29 m →
53 975 m²		 S 67.646855°
E 96.828003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768959045410156 y=0.758079528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768959045410156 × 216)
    floor (0.768959045410156 × 65536)
    floor (50394.5)     		tx = 50394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758079528808594 × 216)
    floor (0.758079528808594 × 65536)
    floor (49681.5)     		ty = 49681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50394 / 49681 ti = "16/50394/49681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50394/49681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50394 ÷ 216
    50394 ÷ 65536     		x = 0.768951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49681 ÷ 216
    49681 ÷ 65536     		y = 0.758071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768951416015625 × 2 - 1) × π
    0.53790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68987159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.516143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62151356654802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68987159} λ = 1.68987159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62151356654802))-π/2
    2×atan(0.197599392799914)-π/2
    2×0.195086221681287-π/2
    0.390172443362574-1.57079632675     		φ = -1.18062388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68987159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.822510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18062388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.644766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50394 KachelY 49681 1.68987159 -1.18062388 96.822510 -67.644766
    Oben rechts KachelX + 1 50395 KachelY 49681 1.68996746 -1.18062388 96.828003 -67.644766
    Unten links KachelX 50394 KachelY + 1 49682 1.68987159 -1.18066035 96.822510 -67.646855
    Unten rechts KachelX + 1 50395 KachelY + 1 49682 1.68996746 -1.18066035 96.828003 -67.646855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18062388--1.18066035) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18062388--1.18066035) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68987159-1.68996746) × cos(-1.18062388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380347907072312 × 6371000     		do = 232.31184998486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68987159-1.68996746) × cos(-1.18066035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		du = 232.291248544111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18062388)-sin(-1.18066035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380347907072312-0.380314177777521)×R²
    abs(1.68996746-1.68987159)×3.37292947907297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37292947907297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37292947907297e-05×40589641000000     		ar = 53975.3509290819m²