Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50390 / 50060
↖ ↑ ↗
← S 68.423434°
E 96.800537°		 ← 224.61 m → S 68.423434°
E 96.806030°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 68.425454°
E 96.800537°		 ← 224.59 m →
50 441 m²		 S 68.425454°
E 96.806030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768898010253906 y=0.763862609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768898010253906 × 216)
    floor (0.768898010253906 × 65536)
    floor (50390.5)     		tx = 50390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763862609863281 × 216)
    floor (0.763862609863281 × 65536)
    floor (50060.5)     		ty = 50060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50390 / 50060 ti = "16/50390/50060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50390/50060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50390 ÷ 216
    50390 ÷ 65536     		x = 0.768890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50060 ÷ 216
    50060 ÷ 65536     		y = 0.76385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768890380859375 × 2 - 1) × π
    0.53778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68948809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.5277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65784973646002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68948809} λ = 1.68948809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65784973646002))-π/2
    2×atan(0.190548268899651)-π/2
    2×0.188291059273205-π/2
    0.37658211854641-1.57079632675     		φ = -1.19421421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68948809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19421421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.423434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50390 KachelY 50060 1.68948809 -1.19421421 96.800537 -68.423434
    Oben rechts KachelX + 1 50391 KachelY 50060 1.68958396 -1.19421421 96.806030 -68.423434
    Unten links KachelX 50390 KachelY + 1 50061 1.68948809 -1.19424946 96.800537 -68.425454
    Unten rechts KachelX + 1 50391 KachelY + 1 50061 1.68958396 -1.19424946 96.806030 -68.425454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19421421--1.19424946) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19421421--1.19424946) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68948809-1.68958396) × cos(-1.19421421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367744241801183 × 6371000     		do = 224.613685380081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68948809-1.68958396) × cos(-1.19424946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367711461646966 × 6371000     		du = 224.593663662786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19421421)-sin(-1.19424946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367744241801183-0.367711461646966)×R²
    abs(1.68958396-1.68948809)×3.2780154216927e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2780154216927e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2780154216927e-05×40589641000000     		ar = 50440.987870992m²