Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50382 / 49236
↖ ↑ ↗
← S 66.696478°
E 96.756592°		 ← 241.63 m → S 66.696478°
E 96.762085°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
S 66.698651°
E 96.756592°		 ← 241.61 m →
58 372 m²		 S 66.698651°
E 96.762085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768775939941406 y=0.751289367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768775939941406 × 216)
    floor (0.768775939941406 × 65536)
    floor (50382.5)     		tx = 50382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751289367675781 × 216)
    floor (0.751289367675781 × 65536)
    floor (49236.5)     		ty = 49236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50382 / 49236 ti = "16/50382/49236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50382/49236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50382 ÷ 216
    50382 ÷ 65536     		x = 0.768768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49236 ÷ 216
    49236 ÷ 65536     		y = 0.75128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768768310546875 × 2 - 1) × π
    0.53753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68872110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57884972588617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68872110} λ = 1.68872110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57884972588617))-π/2
    2×atan(0.206212162346676)-π/2
    2×0.203361594702514-π/2
    0.406723189405027-1.57079632675     		φ = -1.16407314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68872110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16407314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.696478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50382 KachelY 49236 1.68872110 -1.16407314 96.756592 -66.696478
    Oben rechts KachelX + 1 50383 KachelY 49236 1.68881697 -1.16407314 96.762085 -66.696478
    Unten links KachelX 50382 KachelY + 1 49237 1.68872110 -1.16411106 96.756592 -66.698651
    Unten rechts KachelX + 1 50383 KachelY + 1 49237 1.68881697 -1.16411106 96.762085 -66.698651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16407314--1.16411106) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16407314--1.16411106) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68872110-1.68881697) × cos(-1.16407314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39560195970679 × 6371000     		do = 241.628838776935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68872110-1.68881697) × cos(-1.16411106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39556713285767 × 6371000     		du = 241.607566963425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16407314)-sin(-1.16411106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39560195970679-0.39556713285767)×R²
    abs(1.68881697-1.68872110)×3.48268491196513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48268491196513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48268491196513e-05×40589641000000     		ar = 58372.1357197138m²