Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50381 / 83133
↖ ↑ ↗
← S 43.446937°
W 41.624450°		 ← 221.70 m → S 43.446937°
W 41.621704°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 43.448931°
W 41.624450°		 ← 221.69 m →
49 152 m²		 S 43.448931°
W 41.621704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384380340576172 y=0.634258270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384380340576172 × 217)
    floor (0.384380340576172 × 131072)
    floor (50381.5)     		tx = 50381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634258270263672 × 217)
    floor (0.634258270263672 × 131072)
    floor (83133.5)     		ty = 83133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50381 / 83133 ti = "17/50381/83133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50381/83133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50381 ÷ 217
    50381 ÷ 131072     		x = 0.384376525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83133 ÷ 217
    83133 ÷ 131072     		y = 0.634254455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384376525878906 × 2 - 1) × π
    -0.231246948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.72648371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634254455566406 × 2 - 1) × π
    -0.268508911132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.843545622614128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72648371} λ = -0.72648371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843545622614128))-π/2
    2×atan(0.430182551241557)-π/2
    2×0.406252112792503-π/2
    0.812504225585006-1.57079632675     		φ = -0.75829210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72648371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.624450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75829210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.446937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50381 KachelY 83133 -0.72648371 -0.75829210 -41.624450 -43.446937
    Oben rechts KachelX + 1 50382 KachelY 83133 -0.72643578 -0.75829210 -41.621704 -43.446937
    Unten links KachelX 50381 KachelY + 1 83134 -0.72648371 -0.75832690 -41.624450 -43.448931
    Unten rechts KachelX + 1 50382 KachelY + 1 83134 -0.72643578 -0.75832690 -41.621704 -43.448931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75829210--0.75832690) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75829210--0.75832690) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72648371--0.72643578) × cos(-0.75829210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.726011561960052 × 6371000     		do = 221.696364363728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72648371--0.72643578) × cos(-0.75832690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		du = 221.689056503635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75829210)-sin(-0.75832690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726011561960052-0.725987630169668)×R²
    abs(-0.72643578--0.72648371)×2.39317903842906e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39317903842906e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39317903842906e-05×40589641000000     		ar = 49151.6681892807m²