Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50380 / 48902
↖ ↑ ↗
← S 65.959902°
E 96.745605°		 ← 248.85 m → S 65.959902°
E 96.751099°		 →
↑
248.85 m
↓
↑
248.85 m
↓
S 65.962140°
E 96.745605°		 ← 248.82 m →
61 923 m²		 S 65.962140°
E 96.751099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768745422363281 y=0.746192932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768745422363281 × 216)
    floor (0.768745422363281 × 65536)
    floor (50380.5)     		tx = 50380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746192932128906 × 216)
    floor (0.746192932128906 × 65536)
    floor (48902.5)     		ty = 48902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50380 / 48902 ti = "16/50380/48902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50380/48902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50380 ÷ 216
    50380 ÷ 65536     		x = 0.76873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48902 ÷ 216
    48902 ÷ 65536     		y = 0.746185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    0.5374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68852935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.49237060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54682787693997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68852935} λ = 1.68852935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54682787693997))-π/2
    2×atan(0.212922319507246)-π/2
    2×0.20978943132067-π/2
    0.419578862641339-1.57079632675     		φ = -1.15121746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68852935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.745605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15121746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.959902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50380 KachelY 48902 1.68852935 -1.15121746 96.745605 -65.959902
    Oben rechts KachelX + 1 50381 KachelY 48902 1.68862523 -1.15121746 96.751099 -65.959902
    Unten links KachelX 50380 KachelY + 1 48903 1.68852935 -1.15125652 96.745605 -65.962140
    Unten rechts KachelX + 1 50381 KachelY + 1 48903 1.68862523 -1.15125652 96.751099 -65.962140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15121746--1.15125652) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dl = 248.85125999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15121746--1.15125652) × R
    3.90599999999797e-05 × 6371000     		dr = 248.85125999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68852935-1.68862523) × cos(-1.15121746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407375884840153 × 6371000     		do = 248.846162170754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68852935-1.68862523) × cos(-1.15125652) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407340212571113 × 6371000     		du = 248.824371712416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15121746)-sin(-1.15125652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407375884840153-0.407340212571113)×R²
    abs(1.68862523-1.68852935)×3.56722690404987e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56722690404987e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56722690404987e-05×40589641000000     		ar = 61922.9697187939m²