Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50379 / 49239
↖ ↑ ↗
← S 66.702997°
E 96.740112°		 ← 241.57 m → S 66.702997°
E 96.745605°		 →
↑
241.52 m
↓
↑
241.52 m
↓
S 66.705169°
E 96.740112°		 ← 241.54 m →
58 341 m²		 S 66.705169°
E 96.745605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768730163574219 y=0.751335144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768730163574219 × 216)
    floor (0.768730163574219 × 65536)
    floor (50379.5)     		tx = 50379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751335144042969 × 216)
    floor (0.751335144042969 × 65536)
    floor (49239.5)     		ty = 49239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50379 / 49239 ti = "16/50379/49239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50379/49239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50379 ÷ 216
    50379 ÷ 65536     		x = 0.768722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49239 ÷ 216
    49239 ÷ 65536     		y = 0.751327514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768722534179688 × 2 - 1) × π
    0.537445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68843348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751327514648438 × 2 - 1) × π
    -0.502655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57913734728389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68843348} λ = 1.68843348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57913734728389))-π/2
    2×atan(0.206152859845058)-π/2
    2×0.203304710421541-π/2
    0.406609420843082-1.57079632675     		φ = -1.16418691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68843348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16418691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.702997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50379 KachelY 49239 1.68843348 -1.16418691 96.740112 -66.702997
    Oben rechts KachelX + 1 50380 KachelY 49239 1.68852935 -1.16418691 96.745605 -66.702997
    Unten links KachelX 50379 KachelY + 1 49240 1.68843348 -1.16422482 96.740112 -66.705169
    Unten rechts KachelX + 1 50380 KachelY + 1 49240 1.68852935 -1.16422482 96.745605 -66.705169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16418691--1.16422482) × R
    3.79100000000854e-05 × 6371000     		dl = 241.524610000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16418691--1.16422482) × R
    3.79100000000854e-05 × 6371000     		dr = 241.524610000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68843348-1.68852935) × cos(-1.16418691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395497468268421 × 6371000     		do = 241.56501668431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68843348-1.68852935) × cos(-1.16422482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395462648897733 × 6371000     		du = 241.543749438534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16418691)-sin(-1.16422482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395497468268421-0.395462648897733)×R²
    abs(1.68852935-1.68843348)×3.48193706881106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48193706881106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48193706881106e-05×40589641000000     		ar = 58341.3281698273m²