Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50378 / 58181
↖ ↑ ↗
← N 19.795133°
W 41.632690°		 ← 287.32 m → N 19.795133°
W 41.629944°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
N 19.792549°
W 41.632690°		 ← 287.32 m →
82 556 m²		 N 19.792549°
W 41.629944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384357452392578 y=0.443889617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384357452392578 × 217)
    floor (0.384357452392578 × 131072)
    floor (50378.5)     		tx = 50378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443889617919922 × 217)
    floor (0.443889617919922 × 131072)
    floor (58181.5)     		ty = 58181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50378 / 58181 ti = "17/50378/58181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50378/58181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50378 ÷ 217
    50378 ÷ 131072     		x = 0.384353637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58181 ÷ 217
    58181 ÷ 131072     		y = 0.443885803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384353637695312 × 2 - 1) × π
    -0.231292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72662752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443885803222656 × 2 - 1) × π
    0.112228393554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.352575896705513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72662752} λ = -0.72662752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352575896705513))-π/2
    2×atan(1.42272763199117)-π/2
    2×0.958143288728959-π/2
    1.91628657745792-1.57079632675     		φ = 0.34549025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72662752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.632690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34549025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.795133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50378 KachelY 58181 -0.72662752 0.34549025 -41.632690 19.795133
    Oben rechts KachelX + 1 50379 KachelY 58181 -0.72657959 0.34549025 -41.629944 19.795133
    Unten links KachelX 50378 KachelY + 1 58182 -0.72662752 0.34544515 -41.632690 19.792549
    Unten rechts KachelX + 1 50379 KachelY + 1 58182 -0.72657959 0.34544515 -41.629944 19.792549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34549025-0.34544515) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34549025-0.34544515) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72662752--0.72657959) × cos(0.34549025) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.940909538600717 × 6371000     		do = 287.318046752989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72662752--0.72657959) × cos(0.34544515) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.940924811119549 × 6371000     		du = 287.322710400342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34549025)-sin(0.34544515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940909538600717-0.940924811119549)×R²
    abs(-0.72657959--0.72662752)×1.52725188322655e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.52725188322655e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.52725188322655e-05×40589641000000     		ar = 82556.3677632869m²