Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50377 / 49658
↖ ↑ ↗
← S 67.596662°
E 96.729126°		 ← 232.79 m → S 67.596662°
E 96.734619°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 67.598756°
E 96.729126°		 ← 232.77 m →
54 189 m²		 S 67.598756°
E 96.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768699645996094 y=0.757728576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768699645996094 × 216)
    floor (0.768699645996094 × 65536)
    floor (50377.5)     		tx = 50377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757728576660156 × 216)
    floor (0.757728576660156 × 65536)
    floor (49658.5)     		ty = 49658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50377 / 49658 ti = "16/50377/49658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50377/49658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50377 ÷ 216
    50377 ÷ 65536     		x = 0.768692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49658 ÷ 216
    49658 ÷ 65536     		y = 0.757720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68824173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.51544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6193084691655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68824173} λ = 1.68824173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6193084691655))-π/2
    2×atan(0.198035599466101)-π/2
    2×0.195506001613514-π/2
    0.391012003227028-1.57079632675     		φ = -1.17978432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68824173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17978432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.596662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50377 KachelY 49658 1.68824173 -1.17978432 96.729126 -67.596662
    Oben rechts KachelX + 1 50378 KachelY 49658 1.68833760 -1.17978432 96.734619 -67.596662
    Unten links KachelX 50377 KachelY + 1 49659 1.68824173 -1.17982086 96.729126 -67.598756
    Unten rechts KachelX + 1 50378 KachelY + 1 49659 1.68833760 -1.17982086 96.734619 -67.598756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17978432--1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17978432--1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.17978432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381124234530188 × 6371000     		do = 232.786021301645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.17982086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381090452174903 × 6371000     		du = 232.765387452195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17978432)-sin(-1.17982086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381124234530188-0.381090452174903)×R²
    abs(1.68833760-1.68824173)×3.37823552847838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37823552847838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37823552847838e-05×40589641000000     		ar = 54189.332025727m²