Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50377 / 49243
↖ ↑ ↗
← S 66.711685°
E 96.729126°		 ← 241.48 m → S 66.711685°
E 96.734619°		 →
↑
241.46 m
↓
↑
241.46 m
↓
S 66.713856°
E 96.729126°		 ← 241.46 m →
58 305 m²		 S 66.713856°
E 96.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768699645996094 y=0.751396179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768699645996094 × 216)
    floor (0.768699645996094 × 65536)
    floor (50377.5)     		tx = 50377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751396179199219 × 216)
    floor (0.751396179199219 × 65536)
    floor (49243.5)     		ty = 49243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50377 / 49243 ti = "16/50377/49243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50377/49243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50377 ÷ 216
    50377 ÷ 65536     		x = 0.768692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49243 ÷ 216
    49243 ÷ 65536     		y = 0.751388549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68824173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.502777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57952084248085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68824173} λ = 1.68824173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57952084248085))-π/2
    2×atan(0.206073816370833)-π/2
    2×0.203228888085521-π/2
    0.406457776171042-1.57079632675     		φ = -1.16433855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68824173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16433855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.711685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50377 KachelY 49243 1.68824173 -1.16433855 96.729126 -66.711685
    Oben rechts KachelX + 1 50378 KachelY 49243 1.68833760 -1.16433855 96.734619 -66.711685
    Unten links KachelX 50377 KachelY + 1 49244 1.68824173 -1.16437645 96.729126 -66.713856
    Unten rechts KachelX + 1 50378 KachelY + 1 49244 1.68833760 -1.16437645 96.734619 -66.713856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16433855--1.16437645) × R
    3.78999999999241e-05 × 6371000     		dl = 241.460899999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16433855--1.16437645) × R
    3.78999999999241e-05 × 6371000     		dr = 241.460899999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.16433855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395358187375791 × 6371000     		do = 241.479945618497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.16437645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395323374917439 × 6371000     		du = 241.458682594691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16433855)-sin(-1.16437645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395358187375791-0.395323374917439)×R²
    abs(1.68833760-1.68824173)×3.48124583527953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48124583527953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48124583527953e-05×40589641000000     		ar = 58305.3979134973m²