Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50377 / 48836
↖ ↑ ↗
← S 65.811781°
E 96.729126°		 ← 250.26 m → S 65.811781°
E 96.734619°		 →
↑
250.32 m
↓
↑
250.32 m
↓
S 65.814032°
E 96.729126°		 ← 250.24 m →
62 642 m²		 S 65.814032°
E 96.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768699645996094 y=0.745185852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768699645996094 × 216)
    floor (0.768699645996094 × 65536)
    floor (50377.5)     		tx = 50377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745185852050781 × 216)
    floor (0.745185852050781 × 65536)
    floor (48836.5)     		ty = 48836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50377 / 48836 ti = "16/50377/48836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50377/48836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50377 ÷ 216
    50377 ÷ 65536     		x = 0.768692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48836 ÷ 216
    48836 ÷ 65536     		y = 0.74517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68824173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4903564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54050020619012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68824173} λ = 1.68824173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54050020619012))-π/2
    2×atan(0.214273893488271)-π/2
    2×0.211082031359772-π/2
    0.422164062719543-1.57079632675     		φ = -1.14863226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68824173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14863226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.811781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50377 KachelY 48836 1.68824173 -1.14863226 96.729126 -65.811781
    Oben rechts KachelX + 1 50378 KachelY 48836 1.68833760 -1.14863226 96.734619 -65.811781
    Unten links KachelX 50377 KachelY + 1 48837 1.68824173 -1.14867155 96.729126 -65.814032
    Unten rechts KachelX + 1 50378 KachelY + 1 48837 1.68833760 -1.14867155 96.734619 -65.814032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14863226--1.14867155) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dl = 250.316589999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14863226--1.14867155) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dr = 250.316589999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.14863226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409735482165305 × 6371000     		do = 250.261421441616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.14867155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409699641338888 × 6371000     		du = 250.239530303174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14863226)-sin(-1.14867155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409735482165305-0.409699641338888)×R²
    abs(1.68833760-1.68824173)×3.58408264171661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58408264171661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58408264171661e-05×40589641000000     		ar = 62641.845774146m²