Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50377 / 48809
↖ ↑ ↗
← S 65.750939°
E 96.729126°		 ← 250.85 m → S 65.750939°
E 96.734619°		 →
↑
250.89 m
↓
↑
250.89 m
↓
S 65.753195°
E 96.729126°		 ← 250.83 m →
62 934 m²		 S 65.753195°
E 96.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768699645996094 y=0.744773864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768699645996094 × 216)
    floor (0.768699645996094 × 65536)
    floor (50377.5)     		tx = 50377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744773864746094 × 216)
    floor (0.744773864746094 × 65536)
    floor (48809.5)     		ty = 48809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50377 / 48809 ti = "16/50377/48809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50377/48809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50377 ÷ 216
    50377 ÷ 65536     		x = 0.768692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48809 ÷ 216
    48809 ÷ 65536     		y = 0.744766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    0.537384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68824173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744766235351562 × 2 - 1) × π
    -0.489532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53791161361064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68824173} λ = 1.68824173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53791161361064))-π/2
    2×atan(0.214829279823276)-π/2
    2×0.211612976990717-π/2
    0.423225953981434-1.57079632675     		φ = -1.14757037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68824173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14757037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.750939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50377 KachelY 48809 1.68824173 -1.14757037 96.729126 -65.750939
    Oben rechts KachelX + 1 50378 KachelY 48809 1.68833760 -1.14757037 96.734619 -65.750939
    Unten links KachelX 50377 KachelY + 1 48810 1.68824173 -1.14760975 96.729126 -65.753195
    Unten rechts KachelX + 1 50378 KachelY + 1 48810 1.68833760 -1.14760975 96.734619 -65.753195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14757037--1.14760975) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dl = 250.889980000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14757037--1.14760975) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dr = 250.889980000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.14757037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410703911683561 × 6371000     		do = 250.852926347473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68824173-1.68833760) × cos(-1.14760975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4106680059108 × 6371000     		du = 250.830995540599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14757037)-sin(-1.14760975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410703911683561-0.4106680059108)×R²
    abs(1.68833760-1.68824173)×3.5905772760747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5905772760747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5905772760747e-05×40589641000000     		ar = 62933.734572629m²