Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50376 / 82888
↖ ↑ ↗
← S 42.956423°
W 41.638184°		 ← 223.53 m → S 42.956423°
W 41.635437°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 42.958433°
W 41.638184°		 ← 223.53 m →
49 958 m²		 S 42.958433°
W 41.635437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384342193603516 y=0.632389068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384342193603516 × 217)
    floor (0.384342193603516 × 131072)
    floor (50376.5)     		tx = 50376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632389068603516 × 217)
    floor (0.632389068603516 × 131072)
    floor (82888.5)     		ty = 82888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50376 / 82888 ti = "17/50376/82888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50376/82888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50376 ÷ 217
    50376 ÷ 131072     		x = 0.38433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82888 ÷ 217
    82888 ÷ 131072     		y = 0.63238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.831801082207214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72672340} λ = -0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831801082207214))-π/2
    2×atan(0.435264632535571)-π/2
    2×0.410532659558128-π/2
    0.821065319116257-1.57079632675     		φ = -0.74973101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74973101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.956423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50376 KachelY 82888 -0.72672340 -0.74973101 -41.638184 -42.956423
    Oben rechts KachelX + 1 50377 KachelY 82888 -0.72667546 -0.74973101 -41.635437 -42.956423
    Unten links KachelX 50376 KachelY + 1 82889 -0.72672340 -0.74976609 -41.638184 -42.958433
    Unten rechts KachelX + 1 50377 KachelY + 1 82889 -0.72667546 -0.74976609 -41.635437 -42.958433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74973101--0.74976609) × R
    3.50800000000762e-05 × 6371000     		dl = 223.494680000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74973101--0.74976609) × R
    3.50800000000762e-05 × 6371000     		dr = 223.494680000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72672340--0.72667546) × cos(-0.74973101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731872196410768 × 6371000     		do = 223.532607174037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72672340--0.72667546) × cos(-0.74976609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731848290977953 × 6371000     		du = 223.52530583953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74973101)-sin(-0.74976609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731872196410768-0.731848290977953)×R²
    abs(-0.72667546--0.72672340)×2.39054328151633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39054328151633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39054328151633e-05×40589641000000     		ar = 49957.5326104952m²