Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50376 / 49960
↖ ↑ ↗
← S 68.220523°
E 96.723633°		 ← 226.62 m → S 68.220523°
E 96.729126°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 68.222561°
E 96.723633°		 ← 226.60 m →
51 354 m²		 S 68.222561°
E 96.729126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768684387207031 y=0.762336730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768684387207031 × 216)
    floor (0.768684387207031 × 65536)
    floor (50376.5)     		tx = 50376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762336730957031 × 216)
    floor (0.762336730957031 × 65536)
    floor (49960.5)     		ty = 49960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50376 / 49960 ti = "16/50376/49960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50376/49960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50376 ÷ 216
    50376 ÷ 65536     		x = 0.7686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49960 ÷ 216
    49960 ÷ 65536     		y = 0.7623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68814586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64826235653601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68814586} λ = 1.68814586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64826235653601))-π/2
    2×atan(0.192383912995447)-π/2
    2×0.190061789283234-π/2
    0.380123578566467-1.57079632675     		φ = -1.19067275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68814586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19067275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.220523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50376 KachelY 49960 1.68814586 -1.19067275 96.723633 -68.220523
    Oben rechts KachelX + 1 50377 KachelY 49960 1.68824173 -1.19067275 96.729126 -68.220523
    Unten links KachelX 50376 KachelY + 1 49961 1.68814586 -1.19070832 96.723633 -68.222561
    Unten rechts KachelX + 1 50377 KachelY + 1 49961 1.68824173 -1.19070832 96.729126 -68.222561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19067275--1.19070832) × R
    3.55699999998738e-05 × 6371000     		dl = 226.616469999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19067275--1.19070832) × R
    3.55699999998738e-05 × 6371000     		dr = 226.616469999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68814586-1.68824173) × cos(-1.19067275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371035227979684 × 6371000     		do = 226.623779489148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68814586-1.68824173) × cos(-1.19070832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371002196774562 × 6371000     		du = 226.603604433031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19067275)-sin(-1.19070832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371035227979684-0.371002196774562)×R²
    abs(1.68824173-1.68814586)×3.30312051217696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30312051217696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30312051217696e-05×40589641000000     		ar = 51354.394931368m²