Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50373 / 49241
↖ ↑ ↗
← S 66.707341°
E 96.707154°		 ← 241.52 m → S 66.707341°
E 96.712647°		 →
↑
241.52 m
↓
↑
241.52 m
↓
S 66.709513°
E 96.707154°		 ← 241.50 m →
58 331 m²		 S 66.709513°
E 96.712647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768638610839844 y=0.751365661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768638610839844 × 216)
    floor (0.768638610839844 × 65536)
    floor (50373.5)     		tx = 50373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751365661621094 × 216)
    floor (0.751365661621094 × 65536)
    floor (49241.5)     		ty = 49241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50373 / 49241 ti = "16/50373/49241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50373/49241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50373 ÷ 216
    50373 ÷ 65536     		x = 0.768630981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49241 ÷ 216
    49241 ÷ 65536     		y = 0.751358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768630981445312 × 2 - 1) × π
    0.537261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68785824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.502716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57932909488237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68785824} λ = 1.68785824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57932909488237))-π/2
    2×atan(0.206113334318846)-π/2
    2×0.203266795915081-π/2
    0.406533591830162-1.57079632675     		φ = -1.16426273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68785824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.707154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16426273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.707341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50373 KachelY 49241 1.68785824 -1.16426273 96.707154 -66.707341
    Oben rechts KachelX + 1 50374 KachelY 49241 1.68795411 -1.16426273 96.712647 -66.707341
    Unten links KachelX 50373 KachelY + 1 49242 1.68785824 -1.16430064 96.707154 -66.709513
    Unten rechts KachelX + 1 50374 KachelY + 1 49242 1.68795411 -1.16430064 96.712647 -66.709513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16426273--1.16430064) × R
    3.79100000000854e-05 × 6371000     		dl = 241.524610000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16426273--1.16430064) × R
    3.79100000000854e-05 × 6371000     		dr = 241.524610000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68785824-1.68795411) × cos(-1.16426273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395427828958699 × 6371000     		do = 241.52248184562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68785824-1.68795411) × cos(-1.16430064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395393008451368 × 6371000     		du = 241.501213905597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16426273)-sin(-1.16430064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395427828958699-0.395393008451368)×R²
    abs(1.68795411-1.68785824)×3.48205073306684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48205073306684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48205073306684e-05×40589641000000     		ar = 58331.0548758206m²