Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50372 / 49228
↖ ↑ ↗
← S 66.679087°
E 96.701660°		 ← 241.82 m → S 66.679087°
E 96.707154°		 →
↑
241.78 m
↓
↑
241.78 m
↓
S 66.681261°
E 96.701660°		 ← 241.80 m →
58 466 m²		 S 66.681261°
E 96.707154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768623352050781 y=0.751167297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768623352050781 × 216)
    floor (0.768623352050781 × 65536)
    floor (50372.5)     		tx = 50372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751167297363281 × 216)
    floor (0.751167297363281 × 65536)
    floor (49228.5)     		ty = 49228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50372 / 49228 ti = "16/50372/49228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50372/49228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50372 ÷ 216
    50372 ÷ 65536     		x = 0.76861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49228 ÷ 216
    49228 ÷ 65536     		y = 0.75115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76861572265625 × 2 - 1) × π
    0.5372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68776236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.5023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68776236} λ = 1.68776236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57808273549225))-π/2
    2×atan(0.20637038576447)-π/2
    2×0.203513359599467-π/2
    0.407026719198933-1.57079632675     		φ = -1.16376961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68776236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16376961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.679087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50372 KachelY 49228 1.68776236 -1.16376961 96.701660 -66.679087
    Oben rechts KachelX + 1 50373 KachelY 49228 1.68785824 -1.16376961 96.707154 -66.679087
    Unten links KachelX 50372 KachelY + 1 49229 1.68776236 -1.16380756 96.701660 -66.681261
    Unten rechts KachelX + 1 50373 KachelY + 1 49229 1.68785824 -1.16380756 96.707154 -66.681261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16376961--1.16380756) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dl = 241.77945000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16376961--1.16380756) × R
    3.79500000000643e-05 × 6371000     		dr = 241.77945000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68776236-1.68785824) × cos(-1.16376961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395880710128403 × 6371000     		do = 241.824317685228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68776236-1.68785824) × cos(-1.16380756) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395845860284501 × 6371000     		du = 241.803029606502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16376961)-sin(-1.16380756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395880710128403-0.395845860284501)×R²
    abs(1.68785824-1.68776236)×3.48498439025624e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48498439025624e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48498439025624e-05×40589641000000     		ar = 58465.5770238014m²