Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50370 / 83138
↖ ↑ ↗
← S 43.456906°
W 41.654663°		 ← 221.71 m → S 43.456906°
W 41.651916°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 43.458900°
W 41.654663°		 ← 221.70 m →
49 154 m²		 S 43.458900°
W 41.651916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384296417236328 y=0.634296417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384296417236328 × 217)
    floor (0.384296417236328 × 131072)
    floor (50370.5)     		tx = 50370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634296417236328 × 217)
    floor (0.634296417236328 × 131072)
    floor (83138.5)     		ty = 83138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50370 / 83138 ti = "17/50370/83138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50370/83138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50370 ÷ 217
    50370 ÷ 131072     		x = 0.384292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83138 ÷ 217
    83138 ÷ 131072     		y = 0.634292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384292602539062 × 2 - 1) × π
    -0.231414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72701102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634292602539062 × 2 - 1) × π
    -0.268585205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.843785307112228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72701102} λ = -0.72701102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843785307112228))-π/2
    2×atan(0.430079455508389)-π/2
    2×0.406165113104758-π/2
    0.812330226209517-1.57079632675     		φ = -0.75846610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72701102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.654663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75846610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.456906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50370 KachelY 83138 -0.72701102 -0.75846610 -41.654663 -43.456906
    Oben rechts KachelX + 1 50371 KachelY 83138 -0.72696308 -0.75846610 -41.651916 -43.456906
    Unten links KachelX 50370 KachelY + 1 83139 -0.72701102 -0.75850090 -41.654663 -43.458900
    Unten rechts KachelX + 1 50371 KachelY + 1 83139 -0.72696308 -0.75850090 -41.651916 -43.458900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75846610--0.75850090) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75846610--0.75850090) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72701102--0.72696308) × cos(-0.75846610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72589189421642 × 6371000     		do = 221.706068950906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72701102--0.72696308) × cos(-0.75850090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725867958030325 × 6371000     		du = 221.698758223556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75846610)-sin(-0.75850090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72589189421642-0.725867958030325)×R²
    abs(-0.72696308--0.72701102)×2.39361860947529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39361860947529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39361860947529e-05×40589641000000     		ar = 49153.819483233m²