Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50369 / 48884
↖ ↑ ↗
← S 65.919590°
E 96.685181°		 ← 249.21 m → S 65.919590°
E 96.690674°		 →
↑
249.23 m
↓
↑
249.23 m
↓
S 65.921832°
E 96.685181°		 ← 249.19 m →
62 109 m²		 S 65.921832°
E 96.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768577575683594 y=0.745918273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768577575683594 × 216)
    floor (0.768577575683594 × 65536)
    floor (50369.5)     		tx = 50369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745918273925781 × 216)
    floor (0.745918273925781 × 65536)
    floor (48884.5)     		ty = 48884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50369 / 48884 ti = "16/50369/48884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50369/48884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50369 ÷ 216
    50369 ÷ 65536     		x = 0.768569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48884 ÷ 216
    48884 ÷ 65536     		y = 0.74591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768569946289062 × 2 - 1) × π
    0.537139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68747474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4918212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54510214855365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68747474} λ = 1.68747474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54510214855365))-π/2
    2×atan(0.213290082836638)-π/2
    2×0.210141218495055-π/2
    0.420282436990109-1.57079632675     		φ = -1.15051389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68747474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.685181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15051389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.919590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50369 KachelY 48884 1.68747474 -1.15051389 96.685181 -65.919590
    Oben rechts KachelX + 1 50370 KachelY 48884 1.68757061 -1.15051389 96.690674 -65.919590
    Unten links KachelX 50369 KachelY + 1 48885 1.68747474 -1.15055301 96.685181 -65.921832
    Unten rechts KachelX + 1 50370 KachelY + 1 48885 1.68757061 -1.15055301 96.690674 -65.921832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15051389--1.15055301) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dl = 249.233520000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15051389--1.15055301) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dr = 249.233520000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68747474-1.68757061) × cos(-1.15051389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408018326706263 × 6371000     		do = 249.212603888044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68747474-1.68757061) × cos(-1.15055301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407982610861456 × 6371000     		du = 249.190789086841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15051389)-sin(-1.15055301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408018326706263-0.407982610861456)×R²
    abs(1.68757061-1.68747474)×3.57158448060502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57158448060502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57158448060502e-05×40589641000000     		ar = 62109.4160135735m²