Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50368 / 58158
↖ ↑ ↗
← N 19.854561°
W 41.660156°		 ← 287.21 m → N 19.854561°
W 41.657410°		 →
↑
287.27 m
↓
↑
287.27 m
↓
N 19.851977°
W 41.660156°		 ← 287.22 m →
82 507 m²		 N 19.851977°
W 41.657410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384281158447266 y=0.443714141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384281158447266 × 217)
    floor (0.384281158447266 × 131072)
    floor (50368.5)     		tx = 50368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443714141845703 × 217)
    floor (0.443714141845703 × 131072)
    floor (58158.5)     		ty = 58158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50368 / 58158 ti = "17/50368/58158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50368/58158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50368 ÷ 217
    50368 ÷ 131072     		x = 0.38427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58158 ÷ 217
    58158 ÷ 131072     		y = 0.443710327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72710689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443710327148438 × 2 - 1) × π
    0.112579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353678445396774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72710689} λ = -0.72710689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353678445396774))-π/2
    2×atan(1.42429712354128)-π/2
    2×0.958661891100314-π/2
    1.91732378220063-1.57079632675     		φ = 0.34652746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72710689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34652746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.854561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50368 KachelY 58158 -0.72710689 0.34652746 -41.660156 19.854561
    Oben rechts KachelX + 1 50369 KachelY 58158 -0.72705896 0.34652746 -41.657410 19.854561
    Unten links KachelX 50368 KachelY + 1 58159 -0.72710689 0.34648237 -41.660156 19.851977
    Unten rechts KachelX + 1 50369 KachelY + 1 58159 -0.72705896 0.34648237 -41.657410 19.851977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34652746-0.34648237) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dl = 287.268390000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34652746-0.34648237) × R
    4.50900000000254e-05 × 6371000     		dr = 287.268390000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72710689--0.72705896) × cos(0.34652746) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.940557773083382 × 6371000     		do = 287.210630920531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72710689--0.72705896) × cos(0.34648237) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.940573086212462 × 6371000     		du = 287.215306968713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34652746)-sin(0.34648237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940557773083382-0.940573086212462)×R²
    abs(-0.72705896--0.72710689)×1.53131290805408e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.53131290805408e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.53131290805408e-05×40589641000000     		ar = 82507.2071897682m²