Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50368 / 49343
↖ ↑ ↗
← S 66.927908°
E 96.679688°		 ← 239.36 m → S 66.927908°
E 96.685181°		 →
↑
239.36 m
↓
↑
239.36 m
↓
S 66.930060°
E 96.679688°		 ← 239.34 m →
57 291 m²		 S 66.930060°
E 96.685181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768562316894531 y=0.752922058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768562316894531 × 216)
    floor (0.768562316894531 × 65536)
    floor (50368.5)     		tx = 50368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752922058105469 × 216)
    floor (0.752922058105469 × 65536)
    floor (49343.5)     		ty = 49343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50368 / 49343 ti = "16/50368/49343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50368/49343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50368 ÷ 216
    50368 ÷ 65536     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49343 ÷ 216
    49343 ÷ 65536     		y = 0.752914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.505828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58910822240486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58910822240486))-π/2
    2×atan(0.204107549137626)-π/2
    2×0.201341988487984-π/2
    0.402683976975968-1.57079632675     		φ = -1.16811235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16811235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.927908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50368 KachelY 49343 1.68737887 -1.16811235 96.679688 -66.927908
    Oben rechts KachelX + 1 50369 KachelY 49343 1.68747474 -1.16811235 96.685181 -66.927908
    Unten links KachelX 50368 KachelY + 1 49344 1.68737887 -1.16814992 96.679688 -66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 50369 KachelY + 1 49344 1.68747474 -1.16814992 96.685181 -66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16811235--1.16814992) × R
    3.75700000001533e-05 × 6371000     		dl = 239.358470000977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16811235--1.16814992) × R
    3.75700000001533e-05 × 6371000     		dr = 239.358470000977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68747474) × cos(-1.16811235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39188904304344 × 6371000     		do = 239.361034687931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68747474) × cos(-1.16814992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 239.339922719645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16811235)-sin(-1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39188904304344-0.3918544778977)×R²
    abs(1.68747474-1.68737887)×3.45651457400731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45651457400731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45651457400731e-05×40589641000000     		ar = 57290.564383028m²