Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50367 / 49975
↖ ↑ ↗
← S 68.251075°
E 96.674194°		 ← 226.34 m → S 68.251075°
E 96.679688°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 68.253110°
E 96.674194°		 ← 226.32 m →
51 219 m²		 S 68.253110°
E 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768547058105469 y=0.762565612792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768547058105469 × 216)
    floor (0.768547058105469 × 65536)
    floor (50367.5)     		tx = 50367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762565612792969 × 216)
    floor (0.762565612792969 × 65536)
    floor (49975.5)     		ty = 49975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50367 / 49975 ti = "16/50367/49975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50367/49975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50367 ÷ 216
    50367 ÷ 65536     		x = 0.768539428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49975 ÷ 216
    49975 ÷ 65536     		y = 0.762557983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768539428710938 × 2 - 1) × π
    0.537078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68728299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762557983398438 × 2 - 1) × π
    -0.525115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64970046352461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68728299} λ = 1.68728299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64970046352461))-π/2
    2×atan(0.192107443189902)-π/2
    2×0.189795173183793-π/2
    0.379590346367586-1.57079632675     		φ = -1.19120598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68728299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.674194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19120598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.251075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50367 KachelY 49975 1.68728299 -1.19120598 96.674194 -68.251075
    Oben rechts KachelX + 1 50368 KachelY 49975 1.68737887 -1.19120598 96.679688 -68.251075
    Unten links KachelX 50367 KachelY + 1 49976 1.68728299 -1.19124150 96.674194 -68.253110
    Unten rechts KachelX + 1 50368 KachelY + 1 49976 1.68737887 -1.19124150 96.679688 -68.253110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19120598--1.19124150) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19120598--1.19124150) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68728299-1.68737887) × cos(-1.19120598) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.370540007856045 × 6371000     		do = 226.344912198453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68728299-1.68737887) × cos(-1.19124150) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.370507016059995 × 6371000     		du = 226.324759111007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19120598)-sin(-1.19124150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370540007856045-0.370507016059995)×R²
    abs(1.68737887-1.68728299)×3.2991796050319e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.2991796050319e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.2991796050319e-05×40589641000000     		ar = 51219.1025376375m²