Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50361 / 49332
↖ ↑ ↗
← S 66.904216°
E 96.641235°		 ← 239.59 m → S 66.904216°
E 96.646728°		 →
↑
239.61 m
↓
↑
239.61 m
↓
S 66.906371°
E 96.641235°		 ← 239.57 m →
57 407 m²		 S 66.906371°
E 96.646728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768455505371094 y=0.752754211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768455505371094 × 216)
    floor (0.768455505371094 × 65536)
    floor (50361.5)     		tx = 50361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752754211425781 × 216)
    floor (0.752754211425781 × 65536)
    floor (49332.5)     		ty = 49332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50361 / 49332 ti = "16/50361/49332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50361/49332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50361 ÷ 216
    50361 ÷ 65536     		x = 0.768447875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49332 ÷ 216
    49332 ÷ 65536     		y = 0.75274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768447875976562 × 2 - 1) × π
    0.536895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68670775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.5054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58805361061322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68670775} λ = 1.68670775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58805361061322))-π/2
    2×atan(0.204322916910444)-π/2
    2×0.20154873416699-π/2
    0.403097468333979-1.57079632675     		φ = -1.16769886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68670775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.641235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16769886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.904216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50361 KachelY 49332 1.68670775 -1.16769886 96.641235 -66.904216
    Oben rechts KachelX + 1 50362 KachelY 49332 1.68680362 -1.16769886 96.646728 -66.904216
    Unten links KachelX 50361 KachelY + 1 49333 1.68670775 -1.16773647 96.641235 -66.906371
    Unten rechts KachelX + 1 50362 KachelY + 1 49333 1.68680362 -1.16773647 96.646728 -66.906371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16769886--1.16773647) × R
    3.76099999999102e-05 × 6371000     		dl = 239.613309999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16769886--1.16773647) × R
    3.76099999999102e-05 × 6371000     		dr = 239.613309999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68670775-1.68680362) × cos(-1.16769886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392269425494818 × 6371000     		do = 239.593367637156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68670775-1.68680362) × cos(-1.16773647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392234829645086 × 6371000     		du = 239.572236915247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16769886)-sin(-1.16773647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392269425494818-0.392234829645086)×R²
    abs(1.68680362-1.68670775)×3.45958497326437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45958497326437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45958497326437e-05×40589641000000     		ar = 57407.228279055m²