Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50359 / 49318
↖ ↑ ↗
← S 66.874031°
E 96.630249°		 ← 239.91 m → S 66.874031°
E 96.635742°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 66.876188°
E 96.630249°		 ← 239.89 m →
57 545 m²		 S 66.876188°
E 96.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768424987792969 y=0.752540588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768424987792969 × 216)
    floor (0.768424987792969 × 65536)
    floor (50359.5)     		tx = 50359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752540588378906 × 216)
    floor (0.752540588378906 × 65536)
    floor (49318.5)     		ty = 49318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50359 / 49318 ti = "16/50359/49318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50359/49318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50359 ÷ 216
    50359 ÷ 65536     		x = 0.768417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49318 ÷ 216
    49318 ÷ 65536     		y = 0.752532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768417358398438 × 2 - 1) × π
    0.536834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68651600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.50506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58671137742386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68651600} λ = 1.68651600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58671137742386))-π/2
    2×atan(0.204597350046299)-π/2
    2×0.20181215526025-π/2
    0.403624310520501-1.57079632675     		φ = -1.16717202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68651600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16717202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.874031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50359 KachelY 49318 1.68651600 -1.16717202 96.630249 -66.874031
    Oben rechts KachelX + 1 50360 KachelY 49318 1.68661188 -1.16717202 96.635742 -66.874031
    Unten links KachelX 50359 KachelY + 1 49319 1.68651600 -1.16720967 96.630249 -66.876188
    Unten rechts KachelX + 1 50360 KachelY + 1 49319 1.68661188 -1.16720967 96.635742 -66.876188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16717202--1.16720967) × R
    3.76500000001112e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16717202--1.16720967) × R
    3.76500000001112e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68651600-1.68661188) × cos(-1.16717202) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.392753985000569 × 6371000     		do = 239.914353013893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68651600-1.68661188) × cos(-1.16720967) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.392719360141564 × 6371000     		du = 239.893202367525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16717202)-sin(-1.16720967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392753985000569-0.392719360141564)×R²
    abs(1.68661188-1.68651600)×3.46248590050724e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.46248590050724e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.46248590050724e-05×40589641000000     		ar = 57545.2753395485m²