Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50357 / 49358
↖ ↑ ↗
← S 66.960177°
E 96.619262°		 ← 239.07 m → S 66.960177°
E 96.624756°		 →
↑
239.04 m
↓
↑
239.04 m
↓
S 66.962327°
E 96.619262°		 ← 239.05 m →
57 145 m²		 S 66.962327°
E 96.624756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768394470214844 y=0.753150939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768394470214844 × 216)
    floor (0.768394470214844 × 65536)
    floor (50357.5)     		tx = 50357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753150939941406 × 216)
    floor (0.753150939941406 × 65536)
    floor (49358.5)     		ty = 49358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50357 / 49358 ti = "16/50357/49358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50357/49358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50357 ÷ 216
    50357 ÷ 65536     		x = 0.768386840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49358 ÷ 216
    49358 ÷ 65536     		y = 0.753143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768386840820312 × 2 - 1) × π
    0.536773681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68632425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.50628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59054632939346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68632425} λ = 1.68632425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59054632939346))-π/2
    2×atan(0.203814231606332)-π/2
    2×0.201060385649101-π/2
    0.402120771298202-1.57079632675     		φ = -1.16867556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68632425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.619262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16867556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.960177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50357 KachelY 49358 1.68632425 -1.16867556 96.619262 -66.960177
    Oben rechts KachelX + 1 50358 KachelY 49358 1.68642013 -1.16867556 96.624756 -66.960177
    Unten links KachelX 50357 KachelY + 1 49359 1.68632425 -1.16871308 96.619262 -66.962327
    Unten rechts KachelX + 1 50358 KachelY + 1 49359 1.68642013 -1.16871308 96.624756 -66.962327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16867556--1.16871308) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dl = 239.039920000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16867556--1.16871308) × R
    3.75200000000131e-05 × 6371000     		dr = 239.039920000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68632425-1.68642013) × cos(-1.16867556) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391370820682829 × 6371000     		do = 239.069445042764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68632425-1.68642013) × cos(-1.16871308) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391336293263031 × 6371000     		du = 239.04835391728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16867556)-sin(-1.16871308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391370820682829-0.391336293263031)×R²
    abs(1.68642013-1.68632425)×3.4527419797814e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4527419797814e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4527419797814e-05×40589641000000     		ar = 57144.6202135428m²