Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50355 / 49347
↖ ↑ ↗
← S 66.936517°
E 96.608277°		 ← 239.28 m → S 66.936517°
E 96.613769°		 →
↑
239.29 m
↓
↑
239.29 m
↓
S 66.938669°
E 96.608277°		 ← 239.26 m →
57 255 m²		 S 66.938669°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768363952636719 y=0.752983093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768363952636719 × 216)
    floor (0.768363952636719 × 65536)
    floor (50355.5)     		tx = 50355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752983093261719 × 216)
    floor (0.752983093261719 × 65536)
    floor (49347.5)     		ty = 49347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50355 / 49347 ti = "16/50355/49347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50355/49347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50355 ÷ 216
    50355 ÷ 65536     		x = 0.768356323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49347 ÷ 216
    49347 ÷ 65536     		y = 0.752975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768356323242188 × 2 - 1) × π
    0.536712646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68613251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.505950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58949171760182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68613251} λ = 1.68613251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58949171760182))-π/2
    2×atan(0.204029289879852)-π/2
    2×0.20126685795993-π/2
    0.402533715919861-1.57079632675     		φ = -1.16826261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68613251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.608277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16826261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.936517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50355 KachelY 49347 1.68613251 -1.16826261 96.608277 -66.936517
    Oben rechts KachelX + 1 50356 KachelY 49347 1.68622838 -1.16826261 96.613769 -66.936517
    Unten links KachelX 50355 KachelY + 1 49348 1.68613251 -1.16830017 96.608277 -66.938669
    Unten rechts KachelX + 1 50356 KachelY + 1 49348 1.68622838 -1.16830017 96.613769 -66.938669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16826261--1.16830017) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dl = 239.294759999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16826261--1.16830017) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dr = 239.294759999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68613251-1.68622838) × cos(-1.16826261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391750797543475 × 6371000     		do = 239.276596027296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68613251-1.68622838) × cos(-1.16830017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391716239386765 × 6371000     		du = 239.255488327823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16826261)-sin(-1.16830017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391750797543475-0.391716239386765)×R²
    abs(1.68622838-1.68613251)×3.45581567101627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45581567101627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45581567101627e-05×40589641000000     		ar = 57255.110145752m²