Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50353 / 49350
↖ ↑ ↗
← S 66.942972°
E 96.597290°		 ← 239.21 m → S 66.942972°
E 96.602783°		 →
↑
239.23 m
↓
↑
239.23 m
↓
S 66.945123°
E 96.597290°		 ← 239.19 m →
57 225 m²		 S 66.945123°
E 96.602783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768333435058594 y=0.753028869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768333435058594 × 216)
    floor (0.768333435058594 × 65536)
    floor (50353.5)     		tx = 50353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753028869628906 × 216)
    floor (0.753028869628906 × 65536)
    floor (49350.5)     		ty = 49350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50353 / 49350 ti = "16/50353/49350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50353/49350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50353 ÷ 216
    50353 ÷ 65536     		x = 0.768325805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49350 ÷ 216
    49350 ÷ 65536     		y = 0.753021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768325805664062 × 2 - 1) × π
    0.536651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68594076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.50604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58977933899954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68594076} λ = 1.68594076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58977933899954))-π/2
    2×atan(0.203970615128782)-π/2
    2×0.201210527457953-π/2
    0.402421054915906-1.57079632675     		φ = -1.16837527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68594076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.597290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16837527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.942972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50353 KachelY 49350 1.68594076 -1.16837527 96.597290 -66.942972
    Oben rechts KachelX + 1 50354 KachelY 49350 1.68603663 -1.16837527 96.602783 -66.942972
    Unten links KachelX 50353 KachelY + 1 49351 1.68594076 -1.16841282 96.597290 -66.945123
    Unten rechts KachelX + 1 50354 KachelY + 1 49351 1.68603663 -1.16841282 96.602783 -66.945123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16837527--1.16841282) × R
    3.75499999998308e-05 × 6371000     		dl = 239.231049998922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16837527--1.16841282) × R
    3.75499999998308e-05 × 6371000     		dr = 239.231049998922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68594076-1.68603663) × cos(-1.16837527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391647139817858 × 6371000     		do = 239.213283156223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68594076-1.68603663) × cos(-1.16841282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391612589205045 × 6371000     		du = 239.19218006447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16837527)-sin(-1.16841282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391647139817858-0.391612589205045)×R²
    abs(1.68603663-1.68594076)×3.45506128128226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45506128128226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45506128128226e-05×40589641000000     		ar = 57224.7206528123m²