Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50352 / 49105
↖ ↑ ↗
← S 66.410154°
E 96.591797°		 ← 244.43 m → S 66.410154°
E 96.597290°		 →
↑
244.46 m
↓
↑
244.46 m
↓
S 66.412352°
E 96.591797°		 ← 244.41 m →
59 749 m²		 S 66.412352°
E 96.597290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768318176269531 y=0.749290466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768318176269531 × 216)
    floor (0.768318176269531 × 65536)
    floor (50352.5)     		tx = 50352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749290466308594 × 216)
    floor (0.749290466308594 × 65536)
    floor (49105.5)     		ty = 49105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50352 / 49105 ti = "16/50352/49105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50352/49105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50352 ÷ 216
    50352 ÷ 65536     		x = 0.768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49105 ÷ 216
    49105 ÷ 65536     		y = 0.749282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749282836914062 × 2 - 1) × π
    -0.498565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56629025818571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68584489} λ = 1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56629025818571))-π/2
    2×atan(0.20881840961925)-π/2
    2×0.205860242537259-π/2
    0.411720485074517-1.57079632675     		φ = -1.15907584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15907584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.410154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50352 KachelY 49105 1.68584489 -1.15907584 96.591797 -66.410154
    Oben rechts KachelX + 1 50353 KachelY 49105 1.68594076 -1.15907584 96.597290 -66.410154
    Unten links KachelX 50352 KachelY + 1 49106 1.68584489 -1.15911421 96.591797 -66.412352
    Unten rechts KachelX + 1 50353 KachelY + 1 49106 1.68594076 -1.15911421 96.597290 -66.412352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15907584--1.15911421) × R
    3.83699999999543e-05 × 6371000     		dl = 244.455269999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15907584--1.15911421) × R
    3.83699999999543e-05 × 6371000     		dr = 244.455269999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68584489-1.68594076) × cos(-1.15907584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400186631514386 × 6371000     		do = 244.429100246478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68584489-1.68594076) × cos(-1.15911421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40015146766013 × 6371000     		du = 244.407622594352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15907584)-sin(-1.15911421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400186631514386-0.40015146766013)×R²
    abs(1.68594076-1.68584489)×3.5163854256115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5163854256115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5163854256115e-05×40589641000000     		ar = 59749.3565412373m²