Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50351 / 49417
↖ ↑ ↗
← S 67.086689°
E 96.586304°		 ← 237.83 m → S 67.086689°
E 96.591797°		 →
↑
237.83 m
↓
↑
237.83 m
↓
S 67.088828°
E 96.586304°		 ← 237.81 m →
56 560 m²		 S 67.088828°
E 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768302917480469 y=0.754051208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768302917480469 × 216)
    floor (0.768302917480469 × 65536)
    floor (50351.5)     		tx = 50351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754051208496094 × 216)
    floor (0.754051208496094 × 65536)
    floor (49417.5)     		ty = 49417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50351 / 49417 ti = "16/50351/49417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50351/49417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50351 ÷ 216
    50351 ÷ 65536     		x = 0.768295288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49417 ÷ 216
    49417 ÷ 65536     		y = 0.754043579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768295288085938 × 2 - 1) × π
    0.536590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68574901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.508087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59620288354863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68574901} λ = 1.68574901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59620288354863))-π/2
    2×atan(0.202664599909989)-π/2
    2×0.199956357335748-π/2
    0.399912714671497-1.57079632675     		φ = -1.17088361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68574901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.586304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17088361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.086689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50351 KachelY 49417 1.68574901 -1.17088361 96.586304 -67.086689
    Oben rechts KachelX + 1 50352 KachelY 49417 1.68584489 -1.17088361 96.591797 -67.086689
    Unten links KachelX 50351 KachelY + 1 49418 1.68574901 -1.17092094 96.586304 -67.088828
    Unten rechts KachelX + 1 50352 KachelY + 1 49418 1.68584489 -1.17092094 96.591797 -67.088828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17088361--1.17092094) × R
    3.73300000000576e-05 × 6371000     		dl = 237.829430000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17088361--1.17092094) × R
    3.73300000000576e-05 × 6371000     		dr = 237.829430000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68574901-1.68584489) × cos(-1.17088361) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.389337947669736 × 6371000     		do = 237.827661554065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68574901-1.68584489) × cos(-1.17092094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.389303562922857 × 6371000     		du = 237.806657580545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17088361)-sin(-1.17092094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389337947669736-0.389303562922857)×R²
    abs(1.68584489-1.68574901)×3.4384746878835e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4384746878835e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4384746878835e-05×40589641000000     		ar = 56559.9195109737m²