Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50350 / 51067
↖ ↑ ↗
← S 70.368629°
E 96.580811°		 ← 205.20 m → S 70.368629°
E 96.586304°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 70.370474°
E 96.580811°		 ← 205.19 m →
42 095 m²		 S 70.370474°
E 96.586304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768287658691406 y=0.779228210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768287658691406 × 216)
    floor (0.768287658691406 × 65536)
    floor (50350.5)     		tx = 50350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779228210449219 × 216)
    floor (0.779228210449219 × 65536)
    floor (51067.5)     		ty = 51067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50350 / 51067 ti = "16/50350/51067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50350/51067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50350 ÷ 216
    50350 ÷ 65536     		x = 0.768280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51067 ÷ 216
    51067 ÷ 65536     		y = 0.779220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768280029296875 × 2 - 1) × π
    0.53656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68565314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779220581054688 × 2 - 1) × π
    -0.558441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75439465229482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68565314} λ = 1.68565314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75439465229482))-π/2
    2×atan(0.173011942981011)-π/2
    2×0.171316035510603-π/2
    0.342632071021206-1.57079632675     		φ = -1.22816426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68565314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.580811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22816426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.368629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50350 KachelY 51067 1.68565314 -1.22816426 96.580811 -70.368629
    Oben rechts KachelX + 1 50351 KachelY 51067 1.68574901 -1.22816426 96.586304 -70.368629
    Unten links KachelX 50350 KachelY + 1 51068 1.68565314 -1.22819646 96.580811 -70.370474
    Unten rechts KachelX + 1 50351 KachelY + 1 51068 1.68574901 -1.22819646 96.586304 -70.370474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22816426--1.22819646) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22816426--1.22819646) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68565314-1.68574901) × cos(-1.22816426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335967327365392 × 6371000     		do = 205.204734674363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68565314-1.68574901) × cos(-1.22819646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335936998859996 × 6371000     		du = 205.186210394185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22816426)-sin(-1.22819646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335967327365392-0.335936998859996)×R²
    abs(1.68574901-1.68565314)×3.03285053956937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03285053956937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03285053956937e-05×40589641000000     		ar = 42095.0714512412m²