Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50348 / 48787
↖ ↑ ↗
← S 65.701258°
E 96.569824°		 ← 251.34 m → S 65.701258°
E 96.575317°		 →
↑
251.34 m
↓
↑
251.34 m
↓
S 65.703518°
E 96.569824°		 ← 251.31 m →
63 167 m²		 S 65.703518°
E 96.575317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768257141113281 y=0.744438171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768257141113281 × 216)
    floor (0.768257141113281 × 65536)
    floor (50348.5)     		tx = 50348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744438171386719 × 216)
    floor (0.744438171386719 × 65536)
    floor (48787.5)     		ty = 48787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50348 / 48787 ti = "16/50348/48787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50348/48787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50348 ÷ 216
    50348 ÷ 65536     		x = 0.76824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48787 ÷ 216
    48787 ÷ 65536     		y = 0.744430541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744430541992188 × 2 - 1) × π
    -0.488861083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53580239002736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68546139} λ = 1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53580239002736))-π/2
    2×atan(0.215282881011655)-π/2
    2×0.212046526873412-π/2
    0.424093053746825-1.57079632675     		φ = -1.14670327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14670327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.701258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50348 KachelY 48787 1.68546139 -1.14670327 96.569824 -65.701258
    Oben rechts KachelX + 1 50349 KachelY 48787 1.68555726 -1.14670327 96.575317 -65.701258
    Unten links KachelX 50348 KachelY + 1 48788 1.68546139 -1.14674272 96.569824 -65.703518
    Unten rechts KachelX + 1 50349 KachelY + 1 48788 1.68555726 -1.14674272 96.575317 -65.703518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14670327--1.14674272) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dl = 251.335950000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14670327--1.14674272) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dr = 251.335950000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68546139-1.68555726) × cos(-1.14670327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41149435189187 × 6371000     		do = 251.335717559625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68546139-1.68555726) × cos(-1.14674272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411458396356055 × 6371000     		du = 251.313756358086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14670327)-sin(-1.14674272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41149435189187-0.411458396356055)×R²
    abs(1.68555726-1.68546139)×3.59555358151464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59555358151464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59555358151464e-05×40589641000000     		ar = 63166.9415300805m²