Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50347 / 48777
↖ ↑ ↗
← S 65.678644°
E 96.564331°		 ← 251.56 m → S 65.678644°
E 96.569824°		 →
↑
251.53 m
↓
↑
251.53 m
↓
S 65.680906°
E 96.564331°		 ← 251.53 m →
63 270 m²		 S 65.680906°
E 96.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768241882324219 y=0.744285583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768241882324219 × 216)
    floor (0.768241882324219 × 65536)
    floor (50347.5)     		tx = 50347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744285583496094 × 216)
    floor (0.744285583496094 × 65536)
    floor (48777.5)     		ty = 48777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50347 / 48777 ti = "16/50347/48777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50347/48777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50347 ÷ 216
    50347 ÷ 65536     		x = 0.768234252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48777 ÷ 216
    48777 ÷ 65536     		y = 0.744277954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768234252929688 × 2 - 1) × π
    0.536468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68536552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.488555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53484365203496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68536552} λ = 1.68536552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53484365203496))-π/2
    2×atan(0.215489379862124)-π/2
    2×0.212243870708888-π/2
    0.424487741417775-1.57079632675     		φ = -1.14630859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68536552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.564331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14630859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.678644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50347 KachelY 48777 1.68536552 -1.14630859 96.564331 -65.678644
    Oben rechts KachelX + 1 50348 KachelY 48777 1.68546139 -1.14630859 96.569824 -65.678644
    Unten links KachelX 50347 KachelY + 1 48778 1.68536552 -1.14634807 96.564331 -65.680906
    Unten rechts KachelX + 1 50348 KachelY + 1 48778 1.68546139 -1.14634807 96.569824 -65.680906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14630859--1.14634807) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dl = 251.527079999169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14630859--1.14634807) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dr = 251.527079999169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68536552-1.68546139) × cos(-1.14630859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411854036043232 × 6371000     		do = 251.55540824034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68536552-1.68546139) × cos(-1.14634807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411818059578974 × 6371000     		du = 251.533434255963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14630859)-sin(-1.14634807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411854036043232-0.411818059578974)×R²
    abs(1.68546139-1.68536552)×3.59764642582361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59764642582361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59764642582361e-05×40589641000000     		ar = 63270.233774844m²