Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50345 / 49993
↖ ↑ ↗
← S 68.287684°
E 96.553345°		 ← 225.96 m → S 68.287684°
E 96.558838°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 68.289716°
E 96.553345°		 ← 225.94 m →
51 060 m²		 S 68.289716°
E 96.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768211364746094 y=0.762840270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768211364746094 × 216)
    floor (0.768211364746094 × 65536)
    floor (50345.5)     		tx = 50345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762840270996094 × 216)
    floor (0.762840270996094 × 65536)
    floor (49993.5)     		ty = 49993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50345 / 49993 ti = "16/50345/49993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50345/49993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50345 ÷ 216
    50345 ÷ 65536     		x = 0.768203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49993 ÷ 216
    49993 ÷ 65536     		y = 0.762832641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768203735351562 × 2 - 1) × π
    0.536407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68517377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762832641601562 × 2 - 1) × π
    -0.525665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65142619191093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68517377} λ = 1.68517377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65142619191093))-π/2
    2×atan(0.191776203818764)-π/2
    2×0.189475703605884-π/2
    0.378951407211769-1.57079632675     		φ = -1.19184492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68517377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19184492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.287684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50345 KachelY 49993 1.68517377 -1.19184492 96.553345 -68.287684
    Oben rechts KachelX + 1 50346 KachelY 49993 1.68526964 -1.19184492 96.558838 -68.287684
    Unten links KachelX 50345 KachelY + 1 49994 1.68517377 -1.19188039 96.553345 -68.289716
    Unten rechts KachelX + 1 50346 KachelY + 1 49994 1.68526964 -1.19188039 96.558838 -68.289716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19184492--1.19188039) × R
    3.54699999998154e-05 × 6371000     		dl = 225.979369998824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19184492--1.19188039) × R
    3.54699999998154e-05 × 6371000     		dr = 225.979369998824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68517377-1.68526964) × cos(-1.19184492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369946474242395 × 6371000     		do = 225.95878202187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68517377-1.68526964) × cos(-1.19188039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369913520497303 × 6371000     		du = 225.938654277392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19184492)-sin(-1.19188039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369946474242395-0.369913520497303)×R²
    abs(1.68526964-1.68517377)×3.29537450915462e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29537450915462e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29537450915462e-05×40589641000000     		ar = 51059.748984958m²