Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50344 / 58022
↖ ↑ ↗
← N 20.205501°
W 41.726074°		 ← 286.63 m → N 20.205501°
W 41.723328°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 20.202924°
W 41.726074°		 ← 286.63 m →
82 139 m²		 N 20.202924°
W 41.723328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384098052978516 y=0.442676544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384098052978516 × 217)
    floor (0.384098052978516 × 131072)
    floor (50344.5)     		tx = 50344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442676544189453 × 217)
    floor (0.442676544189453 × 131072)
    floor (58022.5)     		ty = 58022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50344 / 58022 ti = "17/50344/58022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50344/58022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50344 ÷ 217
    50344 ÷ 131072     		x = 0.38409423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58022 ÷ 217
    58022 ÷ 131072     		y = 0.442672729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72825738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442672729492188 × 2 - 1) × π
    0.114654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.360197863745102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72825738} λ = -0.72825738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.360197863745102))-π/2
    2×atan(1.43361304654559)-π/2
    2×0.96172442492145-π/2
    1.9234488498429-1.57079632675     		φ = 0.35265252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72825738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35265252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.205501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50344 KachelY 58022 -0.72825738 0.35265252 -41.726074 20.205501
    Oben rechts KachelX + 1 50345 KachelY 58022 -0.72820944 0.35265252 -41.723328 20.205501
    Unten links KachelX 50344 KachelY + 1 58023 -0.72825738 0.35260754 -41.726074 20.202924
    Unten rechts KachelX + 1 50345 KachelY + 1 58023 -0.72820944 0.35260754 -41.723328 20.202924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35265252-0.35260754) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35265252-0.35260754) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72825738--0.72820944) × cos(0.35265252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938459865975103 × 6371000     		do = 286.629799025559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72825738--0.72820944) × cos(0.35260754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938475400591627 × 6371000     		du = 286.634543697306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35265252)-sin(0.35260754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938459865975103-0.938475400591627)×R²
    abs(-0.72820944--0.72825738)×1.55346165242598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55346165242598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55346165242598e-05×40589641000000     		ar = 82139.4877111168m²