Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50344 / 51064
↖ ↑ ↗
← S 70.363091°
E 96.547852°		 ← 205.26 m → S 70.363091°
E 96.553345°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 70.364937°
E 96.547852°		 ← 205.24 m →
42 133 m²		 S 70.364937°
E 96.553345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768196105957031 y=0.779182434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768196105957031 × 216)
    floor (0.768196105957031 × 65536)
    floor (50344.5)     		tx = 50344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779182434082031 × 216)
    floor (0.779182434082031 × 65536)
    floor (51064.5)     		ty = 51064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50344 / 51064 ti = "16/50344/51064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50344/51064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50344 ÷ 216
    50344 ÷ 65536     		x = 0.7681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51064 ÷ 216
    51064 ÷ 65536     		y = 0.7791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7681884765625 × 2 - 1) × π
    0.536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68507790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75410703089709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68507790} λ = 1.68507790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75410703089709))-π/2
    2×atan(0.173061712074859)-π/2
    2×0.171364357752268-π/2
    0.342728715504536-1.57079632675     		φ = -1.22806761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68507790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22806761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.363091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50344 KachelY 51064 1.68507790 -1.22806761 96.547852 -70.363091
    Oben rechts KachelX + 1 50345 KachelY 51064 1.68517377 -1.22806761 96.553345 -70.363091
    Unten links KachelX 50344 KachelY + 1 51065 1.68507790 -1.22809983 96.547852 -70.364937
    Unten rechts KachelX + 1 50345 KachelY + 1 51065 1.68517377 -1.22809983 96.553345 -70.364937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22806761--1.22809983) × R
    3.22199999998052e-05 × 6371000     		dl = 205.273619998759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22806761--1.22809983) × R
    3.22199999998052e-05 × 6371000     		dr = 205.273619998759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68507790-1.68517377) × cos(-1.22806761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336058357883446 × 6371000     		do = 205.260335001487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68507790-1.68517377) × cos(-1.22809983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336028011586679 × 6371000     		du = 205.241799854557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22806761)-sin(-1.22809983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336058357883446-0.336028011586679)×R²
    abs(1.68517377-1.68507790)×3.03462967668477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03462967668477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03462967668477e-05×40589641000000     		ar = 42132.6296234909m²