Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50343 / 48920
↖ ↑ ↗
← S 66.000150°
E 96.542358°		 ← 248.45 m → S 66.000150°
E 96.547852°		 →
↑
248.41 m
↓
↑
248.41 m
↓
S 66.002384°
E 96.542358°		 ← 248.43 m →
61 715 m²		 S 66.002384°
E 96.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768180847167969 y=0.746467590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768180847167969 × 216)
    floor (0.768180847167969 × 65536)
    floor (50343.5)     		tx = 50343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746467590332031 × 216)
    floor (0.746467590332031 × 65536)
    floor (48920.5)     		ty = 48920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50343 / 48920 ti = "16/50343/48920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50343/48920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50343 ÷ 216
    50343 ÷ 65536     		x = 0.768173217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48920 ÷ 216
    48920 ÷ 65536     		y = 0.7464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768173217773438 × 2 - 1) × π
    0.536346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68498202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54855360532629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68498202} λ = 1.68498202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54855360532629))-π/2
    2×atan(0.21255519029016)-π/2
    2×0.2094381981401-π/2
    0.418876396280201-1.57079632675     		φ = -1.15191993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68498202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.542358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15191993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.000150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50343 KachelY 48920 1.68498202 -1.15191993 96.542358 -66.000150
    Oben rechts KachelX + 1 50344 KachelY 48920 1.68507790 -1.15191993 96.547852 -66.000150
    Unten links KachelX 50343 KachelY + 1 48921 1.68498202 -1.15195892 96.542358 -66.002384
    Unten rechts KachelX + 1 50344 KachelY + 1 48921 1.68507790 -1.15195892 96.547852 -66.002384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15191993--1.15195892) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dl = 248.405289999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15191993--1.15195892) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dr = 248.405289999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68498202-1.68507790) × cos(-1.15191993) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406734246220035 × 6371000     		do = 248.45421627003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68498202-1.68507790) × cos(-1.15195892) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.40669862673188 × 6371000     		du = 248.432458052973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15191993)-sin(-1.15195892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406734246220035-0.40669862673188)×R²
    abs(1.68507790-1.68498202)×3.56194881552252e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56194881552252e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56194881552252e-05×40589641000000     		ar = 61714.6392238036m²