Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50342 / 51066
↖ ↑ ↗
← S 70.366783°
E 96.536865°		 ← 205.22 m → S 70.366783°
E 96.542358°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 70.368629°
E 96.536865°		 ← 205.20 m →
42 125 m²		 S 70.368629°
E 96.542358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768165588378906 y=0.779212951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768165588378906 × 216)
    floor (0.768165588378906 × 65536)
    floor (50342.5)     		tx = 50342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779212951660156 × 216)
    floor (0.779212951660156 × 65536)
    floor (51066.5)     		ty = 51066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50342 / 51066 ti = "16/50342/51066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50342/51066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50342 ÷ 216
    50342 ÷ 65536     		x = 0.768157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51066 ÷ 216
    51066 ÷ 65536     		y = 0.779205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    0.53631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68488615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.55841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75429877849558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68488615} λ = 1.68488615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75429877849558))-π/2
    2×atan(0.173028531088468)-π/2
    2×0.17133214147002-π/2
    0.34266428294004-1.57079632675     		φ = -1.22813204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68488615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22813204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.366783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50342 KachelY 51066 1.68488615 -1.22813204 96.536865 -70.366783
    Oben rechts KachelX + 1 50343 KachelY 51066 1.68498202 -1.22813204 96.542358 -70.366783
    Unten links KachelX 50342 KachelY + 1 51067 1.68488615 -1.22816426 96.536865 -70.368629
    Unten rechts KachelX + 1 50343 KachelY + 1 51067 1.68498202 -1.22816426 96.542358 -70.368629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22813204--1.22816426) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22813204--1.22816426) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.22813204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3359976743597 × 6371000     		do = 205.223270247343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.22816426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335967327365392 × 6371000     		du = 205.204734674363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22813204)-sin(-1.22816426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3359976743597-0.335967327365392)×R²
    abs(1.68498202-1.68488615)×3.03469943077617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03469943077617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03469943077617e-05×40589641000000     		ar = 42125.0211637566m²