Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50342 / 49418
↖ ↑ ↗
← S 67.088828°
E 96.536865°		 ← 237.78 m → S 67.088828°
E 96.542358°		 →
↑
237.77 m
↓
↑
237.77 m
↓
S 67.090966°
E 96.536865°		 ← 237.76 m →
56 534 m²		 S 67.090966°
E 96.542358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768165588378906 y=0.754066467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768165588378906 × 216)
    floor (0.768165588378906 × 65536)
    floor (50342.5)     		tx = 50342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754066467285156 × 216)
    floor (0.754066467285156 × 65536)
    floor (49418.5)     		ty = 49418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50342 / 49418 ti = "16/50342/49418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50342/49418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50342 ÷ 216
    50342 ÷ 65536     		x = 0.768157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49418 ÷ 216
    49418 ÷ 65536     		y = 0.754058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    0.53631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68488615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.50811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59629875734787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68488615} λ = 1.68488615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59629875734787))-π/2
    2×atan(0.20264517061622)-π/2
    2×0.19993769450579-π/2
    0.399875389011579-1.57079632675     		φ = -1.17092094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68488615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17092094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.088828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50342 KachelY 49418 1.68488615 -1.17092094 96.536865 -67.088828
    Oben rechts KachelX + 1 50343 KachelY 49418 1.68498202 -1.17092094 96.542358 -67.088828
    Unten links KachelX 50342 KachelY + 1 49419 1.68488615 -1.17095826 96.536865 -67.090966
    Unten rechts KachelX + 1 50343 KachelY + 1 49419 1.68498202 -1.17095826 96.542358 -67.090966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17092094--1.17095826) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dl = 237.765719999339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17092094--1.17095826) × R
    3.73199999998963e-05 × 6371000     		dr = 237.765719999339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.17092094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389303562922857 × 6371000     		do = 237.781855050702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.17095826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389269186844713 × 6371000     		du = 237.760858562591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17092094)-sin(-1.17095826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389303562922857-0.389269186844713)×R²
    abs(1.68498202-1.68488615)×3.43760781440494e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43760781440494e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43760781440494e-05×40589641000000     		ar = 56533.8778526461m²