Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50342 / 48922
↖ ↑ ↗
← S 66.004618°
E 96.536865°		 ← 248.38 m → S 66.004618°
E 96.542358°		 →
↑
248.41 m
↓
↑
248.41 m
↓
S 66.006852°
E 96.536865°		 ← 248.36 m →
61 697 m²		 S 66.006852°
E 96.542358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768165588378906 y=0.746498107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768165588378906 × 216)
    floor (0.768165588378906 × 65536)
    floor (50342.5)     		tx = 50342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746498107910156 × 216)
    floor (0.746498107910156 × 65536)
    floor (48922.5)     		ty = 48922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50342 / 48922 ti = "16/50342/48922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50342/48922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50342 ÷ 216
    50342 ÷ 65536     		x = 0.768157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48922 ÷ 216
    48922 ÷ 65536     		y = 0.746490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    0.53631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68488615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.49298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54874535292477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68488615} λ = 1.68488615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54874535292477))-π/2
    2×atan(0.212514437250151)-π/2
    2×0.209399206397917-π/2
    0.418798412795834-1.57079632675     		φ = -1.15199791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68488615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.536865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15199791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.004618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50342 KachelY 48922 1.68488615 -1.15199791 96.536865 -66.004618
    Oben rechts KachelX + 1 50343 KachelY 48922 1.68498202 -1.15199791 96.542358 -66.004618
    Unten links KachelX 50342 KachelY + 1 48923 1.68488615 -1.15203690 96.536865 -66.006852
    Unten rechts KachelX + 1 50343 KachelY + 1 48923 1.68498202 -1.15203690 96.542358 -66.006852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15199791--1.15203690) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dl = 248.405289999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15199791--1.15203690) × R
    3.8989999999961e-05 × 6371000     		dr = 248.405289999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.15199791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406663006625453 × 6371000     		do = 248.38479095825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68488615-1.68498202) × cos(-1.15203690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406627385900809 × 6371000     		du = 248.363034255279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15199791)-sin(-1.15203690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406663006625453-0.406627385900809)×R²
    abs(1.68498202-1.68488615)×3.56207246439144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56207246439144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56207246439144e-05×40589641000000     		ar = 61697.3937972087m²