Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50340 / 58316
↖ ↑ ↗
← N 19.445874°
W 41.737061°		 ← 288 m → N 19.445874°
W 41.734314°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.443284°
W 41.737061°		 ← 288.01 m →
82 937 m²		 N 19.443284°
W 41.734314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384067535400391 y=0.444919586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384067535400391 × 217)
    floor (0.384067535400391 × 131072)
    floor (50340.5)     		tx = 50340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444919586181641 × 217)
    floor (0.444919586181641 × 131072)
    floor (58316.5)     		ty = 58316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50340 / 58316 ti = "17/50340/58316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50340/58316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50340 ÷ 217
    50340 ÷ 131072     		x = 0.384063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58316 ÷ 217
    58316 ÷ 131072     		y = 0.444915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.23187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72844913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    0.11016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.346104415256805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72844913} λ = -0.72844913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346104415256805))-π/2
    2×atan(1.41355020431989)-π/2
    2×0.955095429609189-π/2
    1.91019085921838-1.57079632675     		φ = 0.33939453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72844913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.737061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33939453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.445874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50340 KachelY 58316 -0.72844913 0.33939453 -41.737061 19.445874
    Oben rechts KachelX + 1 50341 KachelY 58316 -0.72840119 0.33939453 -41.734314 19.445874
    Unten links KachelX 50340 KachelY + 1 58317 -0.72844913 0.33934933 -41.737061 19.443284
    Unten rechts KachelX + 1 50341 KachelY + 1 58317 -0.72840119 0.33934933 -41.734314 19.443284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33939453-0.33934933) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33939453-0.33934933) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72844913--0.72840119) × cos(0.33939453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942956409141628 × 6371000     		do = 288.003159049636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72844913--0.72840119) × cos(0.33934933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942971455991581 × 6371000     		du = 288.007754744917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33939453)-sin(0.33934933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942956409141628-0.942971455991581)×R²
    abs(-0.72840119--0.72844913)×1.50468499524603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50468499524603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50468499524603e-05×40589641000000     		ar = 82936.7010325146m²