Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50340 / 49204
↖ ↑ ↗
← S 66.626840°
E 96.525879°		 ← 242.31 m → S 66.626840°
E 96.531372°		 →
↑
242.35 m
↓
↑
242.35 m
↓
S 66.629020°
E 96.525879°		 ← 242.29 m →
58 722 m²		 S 66.629020°
E 96.531372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768135070800781 y=0.750801086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768135070800781 × 216)
    floor (0.768135070800781 × 65536)
    floor (50340.5)     		tx = 50340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750801086425781 × 216)
    floor (0.750801086425781 × 65536)
    floor (49204.5)     		ty = 49204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50340 / 49204 ti = "16/50340/49204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50340/49204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50340 ÷ 216
    50340 ÷ 65536     		x = 0.76812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49204 ÷ 216
    49204 ÷ 65536     		y = 0.75079345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76812744140625 × 2 - 1) × π
    0.5362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68469440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5015869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57578176431049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68469440} λ = 1.68469440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57578176431049))-π/2
    2×atan(0.20684578480488)-π/2
    2×0.203969296115804-π/2
    0.407938592231609-1.57079632675     		φ = -1.16285773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68469440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16285773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.626840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50340 KachelY 49204 1.68469440 -1.16285773 96.525879 -66.626840
    Oben rechts KachelX + 1 50341 KachelY 49204 1.68479027 -1.16285773 96.531372 -66.626840
    Unten links KachelX 50340 KachelY + 1 49205 1.68469440 -1.16289577 96.525879 -66.629020
    Unten rechts KachelX + 1 50341 KachelY + 1 49205 1.68479027 -1.16289577 96.531372 -66.629020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16285773--1.16289577) × R
    3.80399999999614e-05 × 6371000     		dl = 242.352839999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16285773--1.16289577) × R
    3.80399999999614e-05 × 6371000     		dr = 242.352839999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68469440-1.68479027) × cos(-1.16285773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396717926598165 × 6371000     		do = 242.310457705912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68469440-1.68479027) × cos(-1.16289577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396683007851926 × 6371000     		du = 242.289129762765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16285773)-sin(-1.16289577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396717926598165-0.396683007851926)×R²
    abs(1.68479027-1.68469440)×3.49187462388989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49187462388989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49187462388989e-05×40589641000000     		ar = 58722.0431496649m²