Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50333 / 48805
↖ ↑ ↗
← S 65.741913°
E 96.487427°		 ← 250.97 m → S 65.741913°
E 96.492920°		 →
↑
250.95 m
↓
↑
250.95 m
↓
S 65.744170°
E 96.487427°		 ← 250.94 m →
62 978 m²		 S 65.744170°
E 96.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768028259277344 y=0.744712829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768028259277344 × 216)
    floor (0.768028259277344 × 65536)
    floor (50333.5)     		tx = 50333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744712829589844 × 216)
    floor (0.744712829589844 × 65536)
    floor (48805.5)     		ty = 48805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50333 / 48805 ti = "16/50333/48805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50333/48805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50333 ÷ 216
    50333 ÷ 65536     		x = 0.768020629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48805 ÷ 216
    48805 ÷ 65536     		y = 0.744705200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768020629882812 × 2 - 1) × π
    0.536041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68402328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.489410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53752811841368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68402328} λ = 1.68402328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53752811841368))-π/2
    2×atan(0.214911681619592)-π/2
    2×0.211691742248337-π/2
    0.423383484496674-1.57079632675     		φ = -1.14741284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68402328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.487427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14741284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.741913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50333 KachelY 48805 1.68402328 -1.14741284 96.487427 -65.741913
    Oben rechts KachelX + 1 50334 KachelY 48805 1.68411916 -1.14741284 96.492920 -65.741913
    Unten links KachelX 50333 KachelY + 1 48806 1.68402328 -1.14745223 96.487427 -65.744170
    Unten rechts KachelX + 1 50334 KachelY + 1 48806 1.68411916 -1.14745223 96.492920 -65.744170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14741284--1.14745223) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dl = 250.953689999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14741284--1.14745223) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dr = 250.953689999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68402328-1.68411916) × cos(-1.14741284) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.410847537521955 × 6371000     		do = 250.966826350058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68402328-1.68411916) × cos(-1.14745223) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.410811625180141 × 6371000     		du = 250.944889242911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14741284)-sin(-1.14745223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410847537521955-0.410811625180141)×R²
    abs(1.68411916-1.68402328)×3.59123418143814e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.59123418143814e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.59123418143814e-05×40589641000000     		ar = 62978.2985495873m²