Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50327 / 49375
↖ ↑ ↗
← S 66.996697°
E 96.454468°		 ← 238.69 m → S 66.996697°
E 96.459961°		 →
↑
238.72 m
↓
↑
238.72 m
↓
S 66.998844°
E 96.454468°		 ← 238.67 m →
56 977 m²		 S 66.998844°
E 96.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767936706542969 y=0.753410339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767936706542969 × 216)
    floor (0.767936706542969 × 65536)
    floor (50327.5)     		tx = 50327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753410339355469 × 216)
    floor (0.753410339355469 × 65536)
    floor (49375.5)     		ty = 49375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50327 / 49375 ti = "16/50327/49375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50327/49375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50327 ÷ 216
    50327 ÷ 65536     		x = 0.767929077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49375 ÷ 216
    49375 ÷ 65536     		y = 0.753402709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767929077148438 × 2 - 1) × π
    0.535858154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68344804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.506805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59217618398055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68344804} λ = 1.68344804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59217618398055))-π/2
    2×atan(0.203482314607734)-π/2
    2×0.200741685963637-π/2
    0.401483371927274-1.57079632675     		φ = -1.16931295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68344804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.454468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16931295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.996697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50327 KachelY 49375 1.68344804 -1.16931295 96.454468 -66.996697
    Oben rechts KachelX + 1 50328 KachelY 49375 1.68354391 -1.16931295 96.459961 -66.996697
    Unten links KachelX 50327 KachelY + 1 49376 1.68344804 -1.16935042 96.454468 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 50328 KachelY + 1 49376 1.68354391 -1.16935042 96.459961 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16931295--1.16935042) × R
    3.74700000000949e-05 × 6371000     		dl = 238.721370000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16931295--1.16935042) × R
    3.74700000000949e-05 × 6371000     		dr = 238.721370000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68344804-1.68354391) × cos(-1.16931295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390784193873488 × 6371000     		do = 238.68620632723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68344804-1.68354391) × cos(-1.16935042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 238.66513980072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16931295)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390784193873488-0.390749703126382)×R²
    abs(1.68354391-1.68344804)×3.44907471052092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44907471052092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44907471052092e-05×40589641000000     		ar = 56976.9836660032m²