Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50325 / 57964
↖ ↑ ↗
← N 20.354928°
W 41.778259°		 ← 286.35 m → N 20.354928°
W 41.775513°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
N 20.352352°
W 41.778259°		 ← 286.36 m →
82 006 m²		 N 20.352352°
W 41.775513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383953094482422 y=0.442234039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383953094482422 × 217)
    floor (0.383953094482422 × 131072)
    floor (50325.5)     		tx = 50325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442234039306641 × 217)
    floor (0.442234039306641 × 131072)
    floor (57964.5)     		ty = 57964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50325 / 57964 ti = "17/50325/57964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50325/57964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50325 ÷ 217
    50325 ÷ 131072     		x = 0.383949279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57964 ÷ 217
    57964 ÷ 131072     		y = 0.442230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383949279785156 × 2 - 1) × π
    -0.232101440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.72916818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442230224609375 × 2 - 1) × π
    0.11553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.362978203923065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72916818} λ = -0.72916818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362978203923065))-π/2
    2×atan(1.4376045247609)-π/2
    2×0.963028416066519-π/2
    1.92605683213304-1.57079632675     		φ = 0.35526051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72916818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.778259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35526051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.354928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50325 KachelY 57964 -0.72916818 0.35526051 -41.778259 20.354928
    Oben rechts KachelX + 1 50326 KachelY 57964 -0.72912024 0.35526051 -41.775513 20.354928
    Unten links KachelX 50325 KachelY + 1 57965 -0.72916818 0.35521556 -41.778259 20.352352
    Unten rechts KachelX + 1 50326 KachelY + 1 57965 -0.72912024 0.35521556 -41.775513 20.352352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35526051-0.35521556) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dl = 286.376449999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35526051-0.35521556) × R
    4.49499999999881e-05 × 6371000     		dr = 286.376449999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72916818--0.72912024) × cos(0.35526051) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937555906237421 × 6371000     		do = 286.35370645441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72916818--0.72912024) × cos(0.35521556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937571540456405 × 6371000     		du = 286.358481547313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35526051)-sin(0.35521556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937555906237421-0.937571540456405)×R²
    abs(-0.72912024--0.72916818)×1.56342189843173e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.56342189843173e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.56342189843173e-05×40589641000000     		ar = 82005.6416496371m²