Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50324 / 58036
↖ ↑ ↗
← N 20.169411°
W 41.781006°		 ← 286.70 m → N 20.169411°
W 41.778259°		 →
↑
286.63 m
↓
↑
286.63 m
↓
N 20.166833°
W 41.781006°		 ← 286.70 m →
82 177 m²		 N 20.166833°
W 41.778259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383945465087891 y=0.442783355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383945465087891 × 217)
    floor (0.383945465087891 × 131072)
    floor (50324.5)     		tx = 50324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442783355712891 × 217)
    floor (0.442783355712891 × 131072)
    floor (58036.5)     		ty = 58036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50324 / 58036 ti = "17/50324/58036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50324/58036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50324 ÷ 217
    50324 ÷ 131072     		x = 0.383941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58036 ÷ 217
    58036 ÷ 131072     		y = 0.442779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.23211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72921612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442779541015625 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.359526747150421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72921612} λ = -0.72921612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359526747150421))-π/2
    2×atan(1.43265124781534)-π/2
    2×0.961409480447881-π/2
    1.92281896089576-1.57079632675     		φ = 0.35202263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72921612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.781006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35202263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.169411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50324 KachelY 58036 -0.72921612 0.35202263 -41.781006 20.169411
    Oben rechts KachelX + 1 50325 KachelY 58036 -0.72916818 0.35202263 -41.778259 20.169411
    Unten links KachelX 50324 KachelY + 1 58037 -0.72921612 0.35197764 -41.781006 20.166833
    Unten rechts KachelX + 1 50325 KachelY + 1 58037 -0.72916818 0.35197764 -41.778259 20.166833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35202263-0.35197764) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dl = 286.631290000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35202263-0.35197764) × R
    4.49900000000225e-05 × 6371000     		dr = 286.631290000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72921612--0.72916818) × cos(0.35202263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938677236426664 × 6371000     		do = 286.696189556581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72921612--0.72916818) × cos(0.35197764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938692747898568 × 6371000     		du = 286.700927159366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35202263)-sin(0.35197764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938677236426664-0.938692747898568)×R²
    abs(-0.72916818--0.72921612)×1.55114719037064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55114719037064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55114719037064e-05×40589641000000     		ar = 82176.7776371455m²