Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50324 / 48755
↖ ↑ ↗
← S 65.628824°
E 96.437988°		 ← 252.04 m → S 65.628824°
E 96.443481°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
S 65.631090°
E 96.437988°		 ← 252.02 m →
63 520 m²		 S 65.631090°
E 96.443481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767890930175781 y=0.743949890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767890930175781 × 216)
    floor (0.767890930175781 × 65536)
    floor (50324.5)     		tx = 50324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743949890136719 × 216)
    floor (0.743949890136719 × 65536)
    floor (48755.5)     		ty = 48755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50324 / 48755 ti = "16/50324/48755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50324/48755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50324 ÷ 216
    50324 ÷ 65536     		x = 0.76788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48755 ÷ 216
    48755 ÷ 65536     		y = 0.743942260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    0.5357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68316042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743942260742188 × 2 - 1) × π
    -0.487884521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53273442845168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68316042} λ = 1.68316042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53273442845168))-π/2
    2×atan(0.215944374818439)-π/2
    2×0.212678634462035-π/2
    0.42535726892407-1.57079632675     		φ = -1.14543906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68316042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14543906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.628824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50324 KachelY 48755 1.68316042 -1.14543906 96.437988 -65.628824
    Oben rechts KachelX + 1 50325 KachelY 48755 1.68325629 -1.14543906 96.443481 -65.628824
    Unten links KachelX 50324 KachelY + 1 48756 1.68316042 -1.14547862 96.437988 -65.631090
    Unten rechts KachelX + 1 50325 KachelY + 1 48756 1.68325629 -1.14547862 96.443481 -65.631090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14543906--1.14547862) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14543906--1.14547862) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68316042-1.68325629) × cos(-1.14543906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412646239310428 × 6371000     		do = 252.039276307297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68316042-1.68325629) × cos(-1.14547862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412610204125093 × 6371000     		du = 252.017266456805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14543906)-sin(-1.14547862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412646239310428-0.412610204125093)×R²
    abs(1.68325629-1.68316042)×3.6035185335459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6035185335459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6035185335459e-05×40589641000000     		ar = 63520.3889558492m²