Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50322 / 49342
↖ ↑ ↗
← S 66.925755°
E 96.427002°		 ← 239.41 m → S 66.925755°
E 96.432495°		 →
↑
239.36 m
↓
↑
239.36 m
↓
S 66.927908°
E 96.427002°		 ← 239.39 m →
57 302 m²		 S 66.927908°
E 96.432495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767860412597656 y=0.752906799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767860412597656 × 216)
    floor (0.767860412597656 × 65536)
    floor (50322.5)     		tx = 50322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752906799316406 × 216)
    floor (0.752906799316406 × 65536)
    floor (49342.5)     		ty = 49342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50322 / 49342 ti = "16/50322/49342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50322/49342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50322 ÷ 216
    50322 ÷ 65536     		x = 0.767852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49342 ÷ 216
    49342 ÷ 65536     		y = 0.752899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767852783203125 × 2 - 1) × π
    0.53570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68296867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.50579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58901234860562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68296867} λ = 1.68296867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58901234860562))-π/2
    2×atan(0.204127118641901)-π/2
    2×0.201360775262239-π/2
    0.402721550524477-1.57079632675     		φ = -1.16807478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68296867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.427002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16807478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.925755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50322 KachelY 49342 1.68296867 -1.16807478 96.427002 -66.925755
    Oben rechts KachelX + 1 50323 KachelY 49342 1.68306455 -1.16807478 96.432495 -66.925755
    Unten links KachelX 50322 KachelY + 1 49343 1.68296867 -1.16811235 96.427002 -66.927908
    Unten rechts KachelX + 1 50323 KachelY + 1 49343 1.68306455 -1.16811235 96.432495 -66.927908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16807478--1.16811235) × R
    3.75699999999313e-05 × 6371000     		dl = 239.358469999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16807478--1.16811235) × R
    3.75699999999313e-05 × 6371000     		dr = 239.358469999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68296867-1.68306455) × cos(-1.16807478) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.391923607636026 × 6371000     		do = 239.407115771803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68296867-1.68306455) × cos(-1.16811235) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.39188904304344 × 6371000     		du = 239.386001939266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16807478)-sin(-1.16811235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391923607636026-0.39188904304344)×R²
    abs(1.68306455-1.68296867)×3.45645925866056e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.45645925866056e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.45645925866056e-05×40589641000000     		ar = 57301.5940575714m²