Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50320 / 58035
↖ ↑ ↗
← N 20.171989°
W 41.791992°		 ← 286.63 m → N 20.171989°
W 41.789246°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 20.169411°
W 41.791992°		 ← 286.64 m →
82 177 m²		 N 20.169411°
W 41.789246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383914947509766 y=0.442775726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383914947509766 × 217)
    floor (0.383914947509766 × 131072)
    floor (50320.5)     		tx = 50320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442775726318359 × 217)
    floor (0.442775726318359 × 131072)
    floor (58035.5)     		ty = 58035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50320 / 58035 ti = "17/50320/58035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50320/58035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50320 ÷ 217
    50320 ÷ 131072     		x = 0.3839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58035 ÷ 217
    58035 ÷ 131072     		y = 0.442771911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72940786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442771911621094 × 2 - 1) × π
    0.114456176757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.359574684050041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72940786} λ = -0.72940786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359574684050041))-π/2
    2×atan(1.43271992632051)-π/2
    2×0.961431978900135-π/2
    1.92286395780027-1.57079632675     		φ = 0.35206763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72940786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35206763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.171989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50320 KachelY 58035 -0.72940786 0.35206763 -41.791992 20.171989
    Oben rechts KachelX + 1 50321 KachelY 58035 -0.72935993 0.35206763 -41.789246 20.171989
    Unten links KachelX 50320 KachelY + 1 58036 -0.72940786 0.35202263 -41.791992 20.169411
    Unten rechts KachelX + 1 50321 KachelY + 1 58036 -0.72935993 0.35202263 -41.789246 20.169411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35206763-0.35202263) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35206763-0.35202263) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72940786--0.72935993) × cos(0.35206763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93866171960639 × 6371000     		do = 286.631648182474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72940786--0.72935993) × cos(0.35202263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938677236426664 × 6371000     		du = 286.636386430212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35206763)-sin(0.35202263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93866171960639-0.938677236426664)×R²
    abs(-0.72935993--0.72940786)×1.55168202740086e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55168202740086e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55168202740086e-05×40589641000000     		ar = 82176.5396055222m²